感觉 \(O(tn^2)\) 不是正解,于是弱弱的发了一波 \(O(tn)\) 。

题意描述

你谷还没有人翻译,这里就简单介绍一下。

给你一个长为 \(n\) 的序列,如果它的一个长度至少为 \(3\) 的子集可以构成回文,

回答 \(YES\) ,否则回答 \(NO\) 。(题目有多组数据)

题目 传送门

算法分析

简化题意

首先本题要求找到一个长度至少为3的回文子串,显然可以将题目转化为:

找到一个长度为 3 的回文子串。

  1. 如果原回文子串的长度为奇数,显然可以删除两边的数字,使其长度减少为 \(3\) 。
  2. 如果原回文子串的长度为偶数,可以删除中间两个字符中的一个,使其变为奇数,再重复上述步骤。

举个栗子

  1. 奇数:\(1234321 ->343\)。
  2. 偶数:\(123321->12321->232\)。

所以得出结论:如果一个序列符合要求,它必然有一个长度为3的回文子串

朴素算法

得到上述结论之后,我们很容易想到一个朴素做法:

枚举其中间节点,向两边延伸,看有没有相同的数字。

但是显然,这个做法的时间是 \(O(tn^2)\) 的,大数据下是跑不过去的。

所以我们需要一点优化。

时间优化

排除冗余操作

假设我们从左往右推导,已经到了第 \(i\) 个(其中第 \(1-(i-1)\) 中没有符合条件的节点)

显然,在朴素算法中,我们需要将 \(1\)~\((i-1)\) 一一与右边 \((i+1)\)~\(n\) 比较,但是这是没有必要的。

首先显然第 \(i-2\) 个节点在进行到第 \(i-1\) 节点是就已经与右边进行了比较

同理第 \(i-2\)~\(1\) 个节点早已进行过比较了,且比较不成功,所以再比较是重复而无用的

所以得出结论:

进行到第 \(i\) 个节点时,只需要比较第 \(i-1\) 个节点与右边数值的大小即可。

可惜这并没有优化多少,所以最重要的优化就来了 (尖叫声)

改变处理顺序

记 \(vis[i]\) 表示 \((i+2)\)~\(n\) 中有没有与 \(i\) 相同的数。(注意这里不是 i+1,因为 i+1 是中间节点

这个 \(i+2\) 开始如果没有看懂的话也没有关系,记住就可以了,下文会给出详细讲解。

因为 \(vis[i]\) 的值仅与 \((i+2)\)~\(n\) 有关,所以不妨从后往前进行处理。(想一想为什么)

每次处理时,查看 \(vis[i]\) 的值,如果 \(vis[i]==1\) ,说明前面有与之相同的数值,于是果断return true

否则将 \(vis[i+2]=true\) ,继续处理下一个数。

至此,本题得到完美解决。

手玩样例说明

这里仅仅准备给那些上面没看懂的同学们,如果说你看懂了上面的全部,你可以去打代码了。

这里沿用样例二样例五以及一个自编样例来展开说明。

样例二

5

1 2 2 3 2

从后往前枚举(从 \(n-2\) 开始即可,想一想为什么)。

  1. 第 \(n-2\) 位,\(dis[a[n]]=true\)(即 \(dis[2]=true\)),发现 \(dis[a[n-2]]==true\),果断 return true
  2. 第 \(n-3\) 位,\(dis[a[n-1]]=true\)(即 \(dis[3]=true\)),发现 \(dis[a[n-3]]==true\),果断 return true
  3. 第 \(n-4\) 位,\(dis[a[n-2]]=true\) (即 \(dis[2]=true\)),发现 \(dis[a[n-4]]==false\),结束操作。

所以答案为 \(YES\)。

其实在第一次操作时便可以结束了,但是为了让读者理解,硬是做下去了**。

样例五

10

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

  1. 第 \(n-2\) 位,\(dis[a[n]]=true\)(即 \(dis[5]=true\)),发现 \(dis[a[n-2]]==false\),去下一位。
  2. 第 \(n-3\) 位,\(dis[a[n-1]]=true\)(即 \(dis[5]=true\)),发现 \(dis[a[n-3]]==false\),去下一位。
  3. 第 \(n-4\) 位,\(dis[a[n-2]]=true\) (即 \(dis[4]=true\)),发现 \(dis[a[n-4]]==false\),去下一位。
  4. ......
  5. 第 \(1\) 位,\(dis[a[3]]=true\) (即 \(dis[2]=true\)),发现 \(dis[a[1]]==false\),结束操作。

所以答案为 \(NO\)。

这里让我们回忆刚才的疑问:从 \(i+2\) 开始比较。从这里可以看出,如果从 \(i+1\) 开始,答案为 \(YES\)

因为如果 \(a[i]==a[i+1]\) ,只能得到两个相邻的数相邻,而不能得到一个回文子串

自编样例

9

1 3 7 5 8 0 2 5 9

  1. 第 \(n-2\) 位,\(dis[a[n]]=true\)(即 \(dis[9]=true\)),发现 \(dis[a[n-2]]==false\),去下一位。
  2. 第 \(n-3\) 位,\(dis[a[n-1]]=true\)(即 \(dis[5]=true\)),发现 \(dis[a[n-3]]==false\),去下一位。
  3. 第 \(n-4\) 位,\(dis[a[n-2]]=true\) (即 \(dis[2]=true\)),发现 \(dis[a[n-4]]==false\),去下一位。
  4. 第 \(n-5\) 位,\(dis[a[n-3]]=true\)(即 \(dis[0]=true\)),发现 \(dis[a[n-5]]==true\),操作结束。

所以答案为 \(YES\)。

请读者自行理解,这是正常操作

代码实现

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#define N 5010
using namespace std; int n,T,a[N];
bool flag,vis[N]; int main(){
scanf("%d",&T);
while(T--){
memset(vis,false,sizeof(vis));
flag=false;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(int i=n-2;i>=1;i--){
vis[a[i+2]]=true;//一定要先赋值
if(vis[a[i]]){
printf("YES\n");
flag=true;
break;
}
}
if(!flag) printf("NO\n");
}
return 0;
}

码量很小,简单易懂吧。

结语

学 \(OI\) 一定要具备将复杂问题简单化的能力,同时也要多做题,积累优化思路。

如果这篇文章对你有帮助,你懂的。

完结撒花。

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