CF1324B

感觉 \(O(tn^2)\) 不是正解，于是弱弱的发了一波 \(O(tn)\) 。

题意描述

你谷还没有人翻译，这里就简单介绍一下。

给你一个长为 \(n\) 的序列，如果它的一个长度至少为 \(3\) 的子集可以构成回文，

回答 \(YES\) ，否则回答 \(NO\) 。（题目有多组数据）

题目 传送门。

算法分析

简化题意

首先本题要求找到一个长度至少为3的回文子串，显然可以将题目转化为：

找到一个长度为 3 的回文子串。

1. 如果原回文子串的长度为奇数，显然可以删除两边的数字，使其长度减少为 \(3\) 。
2. 如果原回文子串的长度为偶数，可以删除中间两个字符中的一个，使其变为奇数，再重复上述步骤。

举个栗子：

1. 奇数：\(1234321 ->343\)。
2. 偶数：\(123321->12321->232\)。

所以得出结论：如果一个序列符合要求，它必然有一个长度为3的回文子串。

朴素算法

得到上述结论之后，我们很容易想到一个朴素做法：

枚举其中间节点，向两边延伸，看有没有相同的数字。

但是显然，这个做法的时间是 \(O(tn^2)\) 的，大数据下是跑不过去的。

所以我们需要一点优化。

时间优化

排除冗余操作

假设我们从左往右推导，已经到了第 \(i\) 个（其中第 \(1-(i-1)\) 中没有符合条件的节点）

显然，在朴素算法中，我们需要将 \(1\)~\((i-1)\) 一一与右边 \((i+1)\)~\(n\) 比较，但是这是没有必要的。

首先显然第 \(i-2\) 个节点在进行到第 \(i-1\) 节点是就已经与右边进行了比较。

同理第 \(i-2\)~\(1\) 个节点早已进行过比较了，且比较不成功，所以再比较是重复而无用的。

所以得出结论：

进行到第 \(i\) 个节点时，只需要比较第 \(i-1\) 个节点与右边数值的大小即可。

可惜这并没有优化多少，所以最重要的优化就来了 （尖叫声）。

改变处理顺序

记 \(vis[i]\) 表示 \((i+2)\)~\(n\) 中有没有与 \(i\) 相同的数。（注意这里不是 i+1,因为 i+1 是中间节点）

这个 \(i+2\) 开始如果没有看懂的话也没有关系，记住就可以了，下文会给出详细讲解。

因为 \(vis[i]\) 的值仅与 \((i+2)\)~\(n\) 有关，所以不妨从后往前进行处理。（想一想为什么）

每次处理时，查看 \(vis[i]\) 的值，如果 \(vis[i]==1\) ，说明前面有与之相同的数值，于是果断return true。

否则将 \(vis[i+2]=true\) ，继续处理下一个数。

至此，本题得到完美解决。

手玩样例说明

这里仅仅准备给那些上面没看懂的同学们，如果说你看懂了上面的全部，你可以去打代码了。

这里沿用样例二和样例五以及一个自编样例来展开说明。

样例二

5

1 2 2 3 2

从后往前枚举（从 \(n-2\) 开始即可，想一想为什么）。

1. 第 \(n-2\) 位，\(dis[a[n]]=true\)（即 \(dis[2]=true\)）,发现 \(dis[a[n-2]]==true\)，果断 return true。
2. 第 \(n-3\) 位，\(dis[a[n-1]]=true\)（即 \(dis[3]=true\)）,发现 \(dis[a[n-3]]==true\)，果断 return true。
3. 第 \(n-4\) 位，\(dis[a[n-2]]=true\) （即 \(dis[2]=true\)）,发现 \(dis[a[n-4]]==false\)，结束操作。

所以答案为 \(YES\)。

其实在第一次操作时便可以结束了，但是为了让读者理解，硬是做下去了**。

样例五

10

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

1. 第 \(n-2\) 位，\(dis[a[n]]=true\)（即 \(dis[5]=true\)）,发现 \(dis[a[n-2]]==false\)，去下一位。
2. 第 \(n-3\) 位，\(dis[a[n-1]]=true\)（即 \(dis[5]=true\)）,发现 \(dis[a[n-3]]==false\)，去下一位。
3. 第 \(n-4\) 位，\(dis[a[n-2]]=true\) （即 \(dis[4]=true\)）,发现 \(dis[a[n-4]]==false\)，去下一位。
4. ......
5. 第 \(1\) 位，\(dis[a[3]]=true\) （即 \(dis[2]=true\)），发现 \(dis[a[1]]==false\)，结束操作。

所以答案为 \(NO\)。

这里让我们回忆刚才的疑问：从 \(i+2\) 开始比较。从这里可以看出，如果从 \(i+1\) 开始，答案为 \(YES\)。

因为如果 \(a[i]==a[i+1]\) ，只能得到两个相邻的数相邻，而不能得到一个回文子串。

自编样例

9

1 3 7 5 8 0 2 5 9

1. 第 \(n-2\) 位，\(dis[a[n]]=true\)（即 \(dis[9]=true\)）,发现 \(dis[a[n-2]]==false\)，去下一位。
2. 第 \(n-3\) 位，\(dis[a[n-1]]=true\)（即 \(dis[5]=true\)）,发现 \(dis[a[n-3]]==false\)，去下一位。
3. 第 \(n-4\) 位，\(dis[a[n-2]]=true\) （即 \(dis[2]=true\)）,发现 \(dis[a[n-4]]==false\)，去下一位。
4. 第 \(n-5\) 位，\(dis[a[n-3]]=true\)（即 \(dis[0]=true\)）,发现 \(dis[a[n-5]]==true\)，操作结束。

所以答案为 \(YES\)。

请读者自行理解，这是正常操作。

代码实现

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#define N 5010
using namespace std;

int n,T,a[N];
bool flag,vis[N];

int main(){
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		memset(vis,false,sizeof(vis));
		flag=false;
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
		for(int i=n-2;i>=1;i--){
			vis[a[i+2]]=true;//一定要先赋值
			if(vis[a[i]]){
				printf("YES\n");
				flag=true;
				break;
			}
		}
		if(!flag) printf("NO\n");
	}
	return 0;
}

码量很小，简单易懂吧。

结语

学 \(OI\) 一定要具备将复杂问题简单化的能力，同时也要多做题，积累优化思路。

如果这篇文章对你有帮助，你懂的。

完结撒花。