【学习笔记】最小直径生成树（MDST）

简介

无向图中某一点（可以在顶点上或边上），这个点到所有点的最短距离的最大值最小，那么这个点就是 图的绝对中心。

无向图所有生成树中，直径最小的一个，被称为 最小直径生成树。

图的绝对中心的求法

下文设 \(d(i, j)\) 为顶点 \(i,j\) 间的最短路径长。

首先我们考虑枚举每一条边 \((u, v)\)，长为 \(L\)，并假设绝对中心 \(p\) 在这条边上并且距离 \(u\) 长为 \(x(\le L)\)。

对于图中一点 \(i\)，\(p\) 到 \(i\) 的距离可以写作 \(d(p, i) = \min(d(u, i) + x,\ d(v, i) + (L - x))\)。

那么显然可以看出 \(d(p, i)\) 的函数图像是一个 两条斜率相同的线段构成的折线段。

于是 \(p\) 到最远点距离的函数可以写作 \(f = \max\limits_{1\le i\le n}\{d(p, i)\}\)，图像是一堆折线组成的更加曲折的折线，如图（来源）：

图中的 \(\alpha\) 即为文中的 \(x\)，\(\omega_{u, v}\) 即为 \(L\)，\(w_{1\cdots n}\) 为图中异于 \(u, v\) 的点。

那么答案即为图像中的最低点，横坐标即为绝对中心的位置。

如何得到最低点？不难观察到最低点必然是两折线的交点。

对于图中的两点 \(i, j\)，若 \(d(u, i) \ge d(u, j)\) 且 \(d(v, i) \ge d(v, j)\)，那么显然这个 \(j\) 是丝毫不用考虑的——可以看出 \(d(p, j)\) 的函数图像是完全位于 \(d(p, i)\) 下方的，最低点显然不会在此。

这样筛出的 \(t\) 条折线会有 \(t - 1\) 个交点，那么只要根据这些交点更新答案即可。

\(O(t^2)\) 暴力枚举？大可不必。可以观察到，有一个性质，若我们将这些折线 按 \(d(u, i)\) 的大小 升序排序，那么对应 \(d(v, i)\) 的大小是 递减的。

于是排序后相邻两折线必定会有交点。

图的绝对中心的实现

设 \(adj(i, j)\) 为结点 \(i, j\) 间的直接距离（边长），\(d(i, j)\) 如上文所述，\(rk(i, j)\) 为距离点 \(i\) 第 \(j\) 远的点，\(f\) 即上文的函数。

这里 \(ans\) 表示最远距离。

首先使用多源最短路算法（Floyd，Johnson 等）求出 \(d\) 数组。
求出 \(rk\)，对于每一个 \(i\)，按关键字 \(d(i, j)\) 降序排序。
然后对于每一个点或边对答案进行更新：
- 可能在点上：对于每一个点 \(i\)，用相对较远的点更新：\(ans \leftarrow \min(ans, d(i, rk(i, 1)))\)。
- 可能在边上：对于每一条边 \((i, j)\)，从距离 \(i\) 最远的点开始验证——对于所有的 \(k(\le n)\)：
  - 若 \(d(j, rk(i, k-1)) \le d(j, rk(i, k))\)，因为 \(rk\) 是根据 \(d(i, \cdots)\) 排序的，那么两者组合，发现这个对答案无贡献，不能计算，跳过。
  - 否则就是 \(f\) 上的一个可能为答案的点（交点）。更新答案：\(ans\leftarrow \min(ans, \dfrac{d(i, rk(i, k)) + d(i, rk(i, k - 1)) + adj(i, j)}{2})\)。

最后 \(ans\) 即为所求。如果需要具体位置需要特别地在更新 \(ans\) 时记录。

复杂度 \(O(n^3 + nm)\) 或 \(O(nm\log n + nm)\)，区别在于多源最短路的求法。对于无权图还可以直接 Bfs 得到更优秀的效率。

最小直径生成树（MDST）的求法

根据定义，易知图的绝对中心必定为 MDST 直径的中点。

那么只要得到绝对重心，MDST 并不难求——从绝对中心开始，生成一个最短路径树即为 MDST。

显然 MDST 的直径大小为 \(ans\times 2\)。

习题

BZOJ 2180 - 最小直径生成树 / SPOJ MDST - Minimum Diameter Spanning Tree 【参考代码】
SPOJ PT07C - The GbAaY Kingdom 【参考代码】
Codeforces 266D - BerDonalds

后记

原文地址：https://www.cnblogs.com/-Wallace-/p/13483433.html
本文作者：@-Wallace-
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