图论算法（四）Dijkstra算法

最短路算法（三）Dijkstra算法

PS:因为这两天忙着写GTMD segment_tree，所以博客可能是seg+图论混搭着来，另外segment_tree的基本知识就懒得整理了……

Part 1：Dijkstra算法基本信息

以下，我们用dis[n]表示1->n的最短路径长度，vis[n]表示n号节点有没有被访问过

Dijkstra算法基于贪心的思想，每次从dis[ ]数组中取出一个dis[ ]值最小的节点x，把vis[x]标记为true，同时用这个点的所有连边去更新与x相连的点y的dis[ ]值

其中，更新的条件是这样的：（dis[y]=min(dis[y],dis[x]+x->y)）,也就是y的更新后最短路值=min(当前y的最短路值，x的最短路值+x->y的边权)

每次松弛操作，使得1->x,1->y,x->y这三条边满足三角形不等式，扫完x点的所有边之后，此时，没有被访问过且dis值最小的点的最短路就已经被确定了

重复取出dis[ ]值最小节点的操作，更新y的值，直到vis[ ]全部为true，也就是所有节点都被访问过。此时，dis数组中dis[i]就是1->i的最短路

下面给出dijkstra的证明方法（拓展内容）：https://www.cnblogs.com/jiangshaoyin/p/9954937.html

证明可以仅做了解，毕竟OI不是证明能力大赛

另外，出现负边权的时候，dijkstra算法不能正常工作

Part 2：优化Dijkstra算法

还记得吗？前面我们提到了在松弛之前，有一个取出dis数组中最小值的操作，对吧？

这个操作的复杂度是\(O(n)\)的，再加上用来更新的for循环，整体复杂度就变成了\(O(n\)^\(2\)\()\)的

显然，\(O(n\)^\(2\)\()\)的复杂度还不够快，那么考虑怎么优化？

很容易想到数据结构对吧？这里我们可以使用一个小根堆来实时维护dis中的最小值和这个最小值所对应的编号，取得最小值所在节点编号的复杂度降低到了\(O(logn)\)

这样做，使得整体复杂度降低到了\(O((m+n)logn)\)（其中m是边数，n是点数）

问题又来了，手写小根堆优化会导致码量的暴增，而且容易出错，我们迫切的需要一种简洁，易实现的代码

当然不，STL中queue头文件为我们提供了priority_queue这样一个大根堆，我们想想，可不可以利用这个大根堆呢？

想要利用priority_queue，首先要解决两个问题：

1、我们需要存下两个变量，一个是dis数组中的值，当做第一关键字入堆，还有这个dis值对应的节点编号，这需要开一个结构体

开结构体又导致另一个问题——priority-queue不知道以谁为关键字入堆排序

2、把优先队列的大根堆形式变成小根堆

“做到这些，需要一些奇技淫巧” ——By 一扶苏一 2020.6.28

解决方法一：重载‘<’运算符

我们重载‘<’号运算符，让priority_queue一dis值为第一关键字的同时，把原来的大根堆变成小根堆

代码如下：

struct node{
	int sp,num;
	bool friend operator < (node a,node b){
		return a.sp>b.sp;
		priority_queue<node>q;
	}
}

这里我们重载了‘<’运算符(PS：对于所有C++STL，需要比较大小的，只要求我们重载‘<’运算符，因为通过‘<’号的定义，可以推至所有别的符号的定义，比如，这里我把‘<’重载为返回sp大的，那么‘>’自然就是返回sp小的),一次性解决了上面的两个问题

解决方法二：C++内置pair二元组

我们可以使用C++内置的二元组pair来解决关键字的问题，因为pair默认以第一维为第一关键字

(PS:pair以第二维为第二关键字，但是这里第二关键字我们并不关心，因为不会影响到dijkstra的结果)

C++内置pair基本用法如下代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
	pair<int,int>x;//声明二元组的第一维，第二维的数据类型和二元组名字
	x=make_pair(1,2);//给二元组赋值，先把“1,2”用make_pair()打包，然后分别赋值给第一维和第二维
	int a=x.first,b=x.second;//分别返回二元组x的第一维，第二维
	printf("%d %d",a,b);
}

另外，把大根堆变成小根堆，我们可以在入堆的时候把dis值取反(只是在堆中是相反数，dis值保持原样)，这样我们就用pair解决了这两个问题

Part 3：Dijkstra 模板代码 仅供参考

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=100010,M=500010;
int head[N],ver[M],edge[M],Next[M],d[N];
bool v[N];
int n,m,tot,s;
priority_queue< pair< int,int > >q;//包含pair的优先队列
void add(int x,int y,int z){//链式前向星存图
    ver[++tot]=y;
    edge[tot]=z;
    Next[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
}
void dijkstra(int x){
    memset(d,0x3f,sizeof(d));//把距离初始化无限大
    memset(v,0,sizeof(v));//初始化没有访问过
    d[x]=0;//初始节点距离为0
    q.push((make_pair(0,x)));//初始节点入堆
    while(q.size()!=0){
        int x=q.top().second;//访问第二维，也就是节点编号
        q.pop();//弹出
        if(v[x]==1) continue;//如果走过了，直接进行下一次
        v[x]=1;//标记访问过
        for(int i=head[x];i;i=Next[i]){//链式前向星访问连边
            int y=ver[i],z=edge[i];
            if(d[y]>d[x]+z){//松弛
                d[y]=d[x]+z;//更新最短路
                q.push(make_pair(-d[y],y));//把d[y]的相反数入堆，大根堆变小根堆
            }
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);//n点m边，s出发点
    for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);//读边
        add(x,y,z);
    }
    dijkstra(s);//求单元最短路
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%d ",d[i]);//输出到每一个节点的距离，如果到不了该节点，输出0x3f3f3f3f
    return 0;
}

板子题：

洛谷P4779、洛谷P3371

PS：P4779板子粘上去就过，P3371板子粘上去再加个2³¹的特判又AC了……

P4779传送门：https://www.luogu.com.cn/problem/P4779

P3371传送门：https://www.luogu.com.cn/problem/P3371

“不要光刷题意相同的题，不要光刷板子题！”——By 一扶苏一 2020.7.2

所以，建议做完板子题之后，多找找最短路的题目，斟酌一下SPFA、Dijkstra，Floyd用哪个，具体怎么实现，快速完成代码，最好做到不要出错

到此，图论最短路算法，终于完结。。。