CF13C Sequence

嘟嘟嘟

偶然看到的这道题，觉得有点意思，就做了。

首先题里说修改后的数列只能出现修改前的数，那么状态之间的转移也就之可能在这些数之间。

令f[i][j]表示第 i 个数改成原序列第 j 小的数时的最小步数。容易得出：f[i][j] = min(f[i - 1][k]) + abs(a[i] - b[j]) （1 <= k <= j），其中a是原序列，b是排好序的序列。这样实现了一个O(n3)的dp。

然而n <= 5000，因此我们必须优化掉一层循环，考虑k那一层：f[i - 1][k]其实就是取前缀f[i - 1][j]中的最小值，令g[i][j]表示第 i 个数改成小于等于第 j 个数时的最小步数，那么g[i][j]可以用f[i][j]动态维护，有转移方程：

　　f[i][j] = g[i - 1][j] + abs(a[i] - b[j])

　　g[i][j] = f[i][j]　　　　　　　　　　(j = 1)

　　　　 = min(g[i][j - 1], f[i][j])　　　 (j > 1)

那么答案就是g[n][n]。

另外这道题限制64MB，因此空间上把第一维优化掉。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cctype>
 using namespace std;
 #define enter puts("")
 #define space putchar(' ')
 #define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
 #define rg register
 typedef long long ll;
 typedef double db;
 const int INF = 0x3f3f3f3f;
 const db eps = 1e-;
 const int maxn = 5e3 + ;
 inline ll read()
 {
   ll ans = ;
   char ch = getchar(), las = ' ';
   while(!isdigit(ch)) las = ch, ch = getchar();
   while(isdigit(ch)) ans = ans *  + ch - '', ch = getchar();
   if(las == '-') ans = -ans;
   return ans;
 }
 inline void write(ll x)
 {
   if(x < ) putchar('-'), x = -x;
   if(x >= ) write(x / );
   putchar(x %  + '');
 }

 int a[maxn], b[maxn], n;
 ll f[maxn], g[maxn];

 int main()
 {
   n = read();
   for(int i = ; i <= n; ++i) a[i] = b[i] = read();
   sort(b + , b + n + );
   for(int i = ; i <= n; ++i)
     for(int j = ; j <= n; ++j)
       {
     f[j] = g[j] + abs(a[i] - b[j]);
     g[j] = j ==  ? f[j] : min(g[j - ], f[j]);
       }
   write(g[n]); enter;
   return ;
 }