[复变函数]第05堂课 1.4 复球面与 $\infty$; 作业讲解; 2 解析函数 2.1 解析函数的概念与 Cauchy-Riemann 方程

1. 复球面 大漠孤烟直, 长河落日圆. $$\bex \bbC\cong \bbS^2\bs \sed{N},\quad \bbC_\infty=\bbC\cup \sed{\infty}\mbox{ 扩充复平面}. \eex$$

2. $C_\infty$ 中一些概念的拓展

(1) $\infty$ 的 $\ve$ 邻域: $$\bex N_\ve(\infty)=\sed{z\in\bbC;\ |z|>\cfrac{1}{\ve}}. \eex$$

(2) Jordan 定理.

(3) 单连通区域 $D$: 怎样画 Jordan 闭曲线, 其内部 (或外部, 包含 $\infty$) 都在 $D$ 中.

(4) 极限: $\dps{\lim_{z\to z_0}f(z)=A}$ 当 $z_0=\infty$ 或 $A=\infty$ 时称为广义极限. 例: $\dps{\lim_{z\to 0}\cfrac{1}{z}=\infty,\ \lim_{z\to \infty}\cfrac{1}{z}=0}$.

(5) 以后, 复平面 $\bbC$, 扩充复平面 $\bbC_\infty$.

作业讲解: P 41-42, T 2, 6 (4) (8) , 7, 11 (1)  (3) .

1. 导数与微分

(1) 定义: 对 $w=f(z),\quad z\in D$, 若 $$\bee\label{diff} \lim_{\lap z\to0}\frac{\lap w}{\lap z}=f'(z) \eee$$ 存在, 则称 $$\bex \sedd{\ba{ll} f\mbox{ 在 }z\mbox{ 处可导},\\ f'(z)\mbox{ 为 } f \mbox{ 在 }z\mbox{ 处的导数}. \ea} \eex$$ 由 \eqref{diff}, $$\bex \frac{\lap w}{\lap z}=f'(z)+o(1) \ra \lap w=f'(z)\lap z+o(|z|) \eex$$ 知 $$\bex \sedd{\ba{ll} f\mbox{ 在 }z\mbox{ 处可微},\\ \rd f(z)=f'(z)\rd z=f'(z)\lap z\mbox{ 为 } f \mbox{ 在 }z\mbox{ 处的微分}. \ea} \eex$$

(2) 注记:

a. 可微 $\ra$ 连续.

b. 反过来不对. 比如 $f(z)=\bar z,\Re z,\Im z,|z|,\cdots$. 如对 $f(z)=\bar z$, $$\bex \frac{\lap w}{\lap z} =\frac{\overline{\lap z}}{\lap z} =\sedd{\ba{ll} 1,&\bbR\ni \lap z\to 0,\\ -1,&i\bbR\ni \lap z\to 0. \ea} \eex$$ 它们都是处处连续, 但处处不可微.

(3) 例: 证明: $f(z)=z^n\ (n=1,2,\cdots)$ 可微, 且 $f'(z)=nz^{n-1}$.