《算法导论》学习总结 — XX.第23章 最小生成树

一、什么叫最小生成树

一个无向连通图G=(V,E)，最小生成树就是联结所有顶点的边的权值和最小时的子图T，此时T无回路且连接所有的顶点，所以它必须是棵树。

二、为什么要研究最小生成树问题

《算法导论》上举了电子线路设计的例子。而在经济学、生物学中也常应用最小生成树。

三、如何求一个无向连通图的最小生成树

《算法导论》中提取讲解了两种得到最小生成树的算法，一是Kruskal算法，另一种是Prim算法。这两种算法都使用了贪心策略。

先说明几个概念：

安全边：A是G的某最小生成树的子集，如果AU{(u,v)}仍是G的某最小生成树的子集，则(u,v)是安全边；

割：无向图G=(V, E)对V一个划分(S, V-S)；

边(u,v)通过割(S,V-S)：(u,v)一个顶点位于S中，另一个顶点位于V-S中；

不妨害A的割：A中没有任意一条边通过该割；

轻边(light edge)：通过割的所有边中权值最小的（可能有多条）。

生成最小生成树的基本代码结构是：

1. GENERIC-MST(G, w)
2. A=空集
3. while A does not form a spanning tree
4. do find an edge(u,v) that is safe for A
5. A=AU{(u,v)}
6. return A

于是关键就在于找安全边。

定理（《算法导论》中定理23.1）（以白话阐述）：G=(V,E) 是个无向连通加权图。A 是 E 的一个子集，它包含于 G 的某个最小生成树中。设割 (S, V-S) 是G的任意一个不妨害A的割（就是说A中任何一条边的两个端点要么全在S中，要么全在V-S中），边(u,v)是通过割（S,V-s)的一条轻边（就是说(u,v)是所有端点分布于S和V-S的边中权值最小的），则(u,v)对集合A是安全的。

推论：A是G=（V,E)的某个最小生成树的子集。G(A)=(V,A)是图G的一个森林（只有A集合中的边），C=（Vc, Ec)为G(A)的一个连通分支（森林中的树）。如果边(u,v)是连接C和G(A)中其他某连通分支的一条轻边，则(u,v)对集合A来说是安全的。

1. Kruskal 算法

1. MST-KRUSKAL(G, w)
2. A=空集
3. for each vertex v∈V[G]
4. do MAKE_SET(v)
5. sort the edges of E into nondescreasing order by weight w
6. for each edge(u,v)∈E, take in nondescreasing order by weight
7. do if FIND-SET(u) != FIND-SET(v)                              // 如果u和v不在同一个连通分支中，就把(u,v)加入，由推论可知此边是安全的
8. then A = AU{(u,v)}
9. UNION(u,v)
10. return A

FIND-SET(u)是找出u所在的连通分支。

Kruskal在全局中找权值最小的边，然后判断此边是否“合法”，进行取舍，直到遍历完所有的边。

Kruskal算法的运行时间为O(ElgV)。

2. Prim算法

1. MST-PRIM(G, w, r)
2. for each u∈V[G]
3. do key[u]=∞
4. π(u) = NIL     // π(u)是u的前趋
5. key[r] = 0
6. Q=V[G]
7. while Q != 空集
8. do u=EXTRACT-MIN(Q)
9. for each v∈Adj[u]
10. do if v∈Q and w(u,v)<key[v]
11. then π(v)=u
12. key[v] = w(u,v)       // 更新key[v]

Q是一个优先队列，key[v]是所有将v与树中某一顶点相连的边中的最小权值，若不存在这样的边，则k[v]=∞。

Prim算法在局部寻找权值小的的边（此边必合法），直到遍历完所有的节点。

Prim算法的运行时间为O(ElgV)，与Kruskal算法渐近相等。

Prim算法实际上使用了与Dijkstra算法同样的策略，维护了一个权值数组key，在迭代过程中不断的更新。