[您有新的未分配科技点]无旋treap：从好奇到入门（例题：bzoj3224 普通平衡树）

今天我们来学习一种新的数据结构：无旋treap。它和splay一样支持区间操作，和treap一样简单易懂，同时还支持可持久化。

无旋treap的节点定义和treap一样，都要同时满足树性质和堆性质，我们还是用rand（）来实现平衡

而无旋treap与treap不同的地方，也是其核心，就是它不旋转用两个新的核心函数：merge函数（合并两棵子树）和split函数（分裂出某棵树的前k个节点，并且作为一棵树返回）

首先看merge函数，它是一个递归实现的过程，先看代码：

 Treap *merge(Treap *a,Treap *b)
 {
     if(a==null)return b;
     if(b==null)return a;
     pushdown(a);pushdown(b);
     if(a->key < b->key)
         {a->ch[]=merge(a->ch[],b);a->update();return a;}
     else
         {b->ch[]=merge(a,b->ch[]);b->update();return b;}
 }

对于两棵子树a和b，我们可以实现把b树合并到a树中

在合并时，我们首先看他们的根节点谁的键值比较小（我维护的是一个小根堆），并且建立对应的父子关系。

又由于平衡树的中序遍历不变，我们又要把b插在a后面，维持一个确定的中序遍历，

所以我们应该一直把a作为merge函数的前一个参数，b作为后一个参数，这个顺序不能换.

这一个确定的顺序的重要性尤其体现在后续的区间操作中。刚开始的时候可以当板子背下来，但随着打题肯定会逐渐理解。

接下来我们介绍split函数，这也是一个递归实现的过程，还是先看代码：

 typedef pair<Treap*,Treap*> D;
 D split(Treap *o,int k)
 {
     if(o==null) return D(null,null);
     D y;pushdown(o);
     if(o->ch[]->size>=k)
         {y=split(o->ch[],k);o->ch[]=y.second;o->update();y.second=o;}
     else
         {y=split(o->ch[],k-o->ch[]->size-);o->ch[]=y.first;o->update();y.first=o;}
     return y;
 }

我们首先定义一个pair，这样做的好处是同时返回分裂出来的两棵树的根节点指针，我规定第一个是分离完成的树，第二个是剩下的原树。

然后考虑分离前k个的过程：如果o的左儿子有k个以上节点，我们显然应该去左儿子分离。

然后我们会得到分离完成的树和左儿子剩下的树，这时候把左儿子剩下的部分接回节点o，并把新的o作为分离o剩下的原树

如果左儿子节点个数不够，我们就去右儿子分离，过程是相似的，但略有不同，留给读者思考。

有了这两个函数，我们就可以用他们实现一些常用的操作了，比如：

insert=split+newnode+merge+merge

delete=split+split+merge（合并第一个split的first和第二个的second）

等等，其他操作也可以用类似的思路打出来。下面我们用一道例题实战一下。建议读者自己实现代码并充分思考后再核对标程。

3224: Tyvj 1728 普通平衡树

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MB

Description

您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：
1. 插入x数
2. 删除x数(若有多个相同的数，因只删除一个)
3. 查询x数的排名(若有多个相同的数，因输出最小的排名)
4. 查询排名为x的数
5. 求x的前驱(前驱定义为小于x，且最大的数)
6. 求x的后继(后继定义为大于x，且最小的数)

Input

第一行为n，表示操作的个数,下面n行每行有两个数opt和x，opt表示操作的序号(1<=opt<=6)

Output

对于操作3,4,5,6每行输出一个数，表示对应答案

Sample Input

10
1 106465
4 1
1 317721
1 460929
1 644985
1 84185
1 89851
6 81968
1 492737
5 493598

Sample Output

106465
84185
492737

HINT

1.n的数据范围：n<=100000

2.每个数的数据范围：[-2e9,2e9]

 

题解：

这道题本质上只比上面讲的基本操作多了两个函数：查询某个权值的排名和查询某个排名的权值

查询某个权值的排名很简单，在树中递归询问即可

而对于某个权值的排名，我们可以考虑split前k-1个节点，再对第一次split的second进行split，得到第k个节点，并且返回权值

前驱和后继只是上面这两个操作的简单变形，但稍微需要注意一下边界的处理。

代码见下：

 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 #include <cstring>
 #include <ctime>
 #include <cstdlib>
 using namespace std;
 const int maxn=,inf=0x7fffffff;
 struct Treap
 {
     Treap* ch[];
     int key,val,size;
     Treap(int v)
         {size=,val=v,key=rand();ch[]=ch[]=NULL;}
     inline void tain()
         {size=+(ch[]?ch[]->size:)+(ch[]?ch[]->size:);}
 }*root;
 typedef pair<Treap*,Treap*> D;
 inline int size(Treap *o){return o?o->size:;}
 Treap *Merge(Treap *a,Treap* b)
 {
     if(!a)return b;
     if(!b)return a;
     if(a->key < b->key)
         {a->ch[]=Merge(a->ch[],b);a->tain();return a;}
     else
         {b->ch[]=Merge(a,b->ch[]);b->tain();return b;}
 }
 D Split(Treap *o,int k)
 {
     if(!o)return D(NULL,NULL);
     D y;
     if(size(o->ch[])>=k)
         {y=Split(o->ch[],k);o->ch[]=y.second;o->tain();y.second=o;}
     else
         {y=Split(o->ch[],k-size(o->ch[])-);o->ch[]=y.first;o->tain();y.first=o;}
     return y;
 }
 int Getkth(Treap *o,int v)
 {
     if(o==NULL)return ;
     return(o->val>=v)?Getkth(o->ch[],v):Getkth(o->ch[],v)+size(o->ch[])+;
 }
 inline int Findkth(int k)
 {
     D x=Split(root,k-);
     D y=Split(x.second,);
     Treap *ans=y.first;
     root=Merge(Merge(x.first,ans),y.second);
     return ans!=NULL?ans->val:;
 }
 inline void Insert(int v)
 {
     int k=Getkth(root,v);
     D x=Split(root,k);
     Treap *o=new Treap(v);
     root=Merge(Merge(x.first,o),x.second);
 }
 void Delete(int v)
 {
     int k=Getkth(root,v);
     D x=Split(root,k);
     D y=Split(x.second,);
     root=Merge(x.first,y.second);
 }
 int main(){
     int m,opt,x;scanf("%d",&m);
     while(m--)
     {
         scanf("%d%d",&opt,&x);
         switch(opt)
         {
             case :Insert(x);break;
             case :Delete(x);break;
             case :printf("%d\n",Getkth(root,x)+);break;
             case :printf("%d\n",Findkth(x));break;
             case :printf("%d\n",Findkth(Getkth(root,x)));break;
             case :printf("%d\n",Findkth(Getkth(root,x+)+));break;
         }
     }
 }