牛顿迭代法实现平方根函数sqrt
给定一个正数a,不用库函数求其平方根。
设其平方根为x,则有x2=a,即x2-a=0。设函数f(x)= x2-a,则可得图示红色的函数曲线。在曲线上任取一点(x0,f(x0)),其中x0≠0那么曲线上该点的切线方程为
(1-1)
求该切线与x轴的交点得
(1-2)
因为1-2式中x0作为分母,所以在之前限定了一下初始值不要选0。那么得到的这个与x轴的交点其实是最终要求得的x的一次逼近,我们再以这个x基准继续迭代就可以求得更逼近的x,至于逼近到什么时候才算完,这个取决于你自己设定的精度。整个过程的迭代只需要几步就可以求得最终的结果。
代码如下:
- double NewtonMethod(double fToBeSqrted)
- {
- double x = 1.0;
- while(abs(x*x-fToBeSqrted) > 1e-5)
- {
- x = (x+fToBeSqrted/x)/2;
- }
- return x;
- }
当然,从图中可以看出,当你所取的初始值的横坐标在红色曲线与x轴交点右边,即比最终的结果大时,比如选初始值x=a,我们可以将while语句里面的abs(x*x-fToBeSqrted)直接换成fToBeSqrted -x*x,这样可以省去abs的运算。当然这不能确保效率的提升,因为初始值的选取直接影响了迭代的次数。
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