什么是 kNN 算法？

学习 machine learning 的最低要求是什么？我发觉要求可以很低，甚至初中程度已经可以。首先要学习一点 Python 编程，譬如这两本小孩子用的书：【1】【2】便可。数学方面，只需要知道「两点间距离」的公式（中学的座标几何会读到）。

这本书第二章介绍 kNN 算法，包括 Python 程序：

其他章节的数学要求可能不同，但我目的是想说明，很多实用的人工智能的原理，其实也很简单的。

kNN 是什么？ For example:

开始时，所有 data points 的 labels （颜色）已经是知道的。

kNN 要解决的问题是：图中那「？」点的 label 应该是什么颜色？

用肉眼直观来看，那「？」的位置，是在蓝色点密集的区域，所以最「贴切」的标签应该是蓝色。

kNN 的算法就是：

在已知的 data points 中，逐一点检视（把這每一點叫作 P）：

首先计算「？」和 P 之间的距离

所有距离计算之后，将他们由小至大 sort 好
从 sort 好的序列，取最前的 k 个（即距离最接近「？」的 k 个点子）
对这 k 个点，读出他们的 label（颜色）是什么，这是问题中已经知道的
所有这些 labels（颜色），哪个出现最多？（亦即是说，最接近「？」的 k 个点子，它们最普遍是什么颜色？）
这出现次数最多的颜色，就是答案

例如，使用者要求 k = 5 时：

最接近「？」的 5 个点，就是以「？」为中心的虚线圆圈内的 5 个点。它们的颜色顺序依次为：[ ⬤，⬤，⬤，⬤，⬤ ] 。出现的次数是 4⬤ 1⬤ ，所以最高次数的颜色是 ⬤ 。

如何用 Python 写 kNN ?

1. 计算点与「？」之间距离

首先，回忆中学的坐标几何里，两点间距离的公式。假设那两点是 A 和 B，它们的座标分别是 $(x_A, y_A)$ 和 $(x_B, y_B)$，则：

$$ \mbox{distance D} = \sqrt{ (x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2 } $$

注意，在这公式里，用 $x_A - x_B$ 还是 $x_B - x_A$ 是没有分别的，因为那是正数和负数的分别，而在 $()^2$ 之后便没有分别。（换句话说，计算 A，B 之间的距离，和计算 B，A 之间的距离，是一样的。）

每个点子有 3 个坐标，分别是： x = 「坐飞机旅程」、y = 「吃雪糕的量」、z = 「玩电玩时间」，而 labels 是：「很喜欢」、「普通喜欢」、「不喜欢」。

因为坐标有 3 个，所以处理的空间是 3 度空间，但为了初学者方便，我们只考虑其中两个座标，所以局限在 2 度空间（平面上）。如果要 generalize 到 N-度空间，那需要用到 N-度空间中两点间距离的公式，留给读者作为练习 ☺

写程式时，首先要知道那些点子是如何储存於某个 variable 中。在书中的 "dating" 例子里，那些点子的坐标是 datingDataMat，而 labels 是储存在 datingLabels。

（妳可以在 Python 命令行，呼叫 file2matrix 函数去准备那些点子，然后试试印出 datingDataMat 和 datingLabel 这两个 variables 的内容。例如 datingDataMat[ : , 1 ] 可以印出所有点子的第二个坐标（即吃雪糕量）。那「：」的意思是，不指定指标的 begin 和 end，所以是对那个指标「全取」。）

我们用比较浅显的方法重写书中的 Python 函数（書裡的程式用了 vector 和 matrix 的表示法，比較簡潔，但較難懂）：

    def classify1(inP, dataSet, labels, k):

        N = len(dataSet)

        Ds = array([0] * N)

        for i in range(N):

             x2 = (inP[0] - dataSet[i][0])**2

             y2 = (inP[1] - dataSet[i][1])**2

             D = sqrt(x2 + y2)

             Ds[i] = D

第 1 句：定义我们的 function。 inP 是 input point 的意思。

第 2 句： N 是我们 dataSet 的 size，即总共有多少点子。

第 3 句：我们要计算距离 D，而且有 N 个这样的距离，所以要将结果储存在 array 里。但使用 array 之前，要先定义它，并填上 0（这叫初始化，initialize）。 Ds 这名字的意思是「很多D」（如英语中的 dogs = dog 的众数）。

第 4 句是 loop：对於每一点，我们用 i 这个 index「指着」它。 Index 是处理 array 的惯用做法，因为 array 容许妳读取任意位置的元素。

第 5、6 句：计算 $\Delta x^2$ 和 $\Delta y^2$ 的值，注意，因为我们储存 x, y 的方法是 [x, y] 这样的 list，所以 x 用指标 [0] 读取，y 用指标 [1] 读取。

第 7 句：计算 $D = \sqrt{ \Delta x^2 + \Delta y^2 }$。

第 8 句：将计算好的 D 放进 array Ds 里。

2. 将距离排序

很简单，一句：

    Dsorted = Ds.sort()

注意，這些程式段落要適當地 indent 好，不然 Python 會出錯的。这句仍屬於 classify1 函数。

3. 读出点的颜色

刚才说错了，因为 Ds 排序之后，再弄不清哪个点子对应於哪个 label，所以我们要用的是 "arg sort" (argument sort，即是用指标来排序)。

例如，设 a = array( [17, 38, 10, 49] )，

a.sort() 会给出 [10, 17, 38, 49]，

但 a.argsort() 会给出 [2, 0, 1, 3]，这些是 indices（指标）。

换句话说： argsort 的结果是 旧的 indices 的新的排法。

Python 程式：

    D_sorted = Ds.argsort()

    first_k = D_sorted[0:k]        # 提取前 k 个元素（但這句其實不需用到）

现在要找出这 k 个点子的 labels，我们可以创造一个新的 array 储存它们：

    first_k_labels = array([0]*k)  # 准备空的 array

    for i in range(0,k):

        first_k_labels[i] = labels[ D_sorted[ i ]]

最后那句要说明一下：如果写 labels[i] 那就是第 i 个元素的 label。但我们要的是排序好之后的元素的 label，所以我们先「look up」这个 D_sorted array，找出排序后的元素的指标，再用那指标「look up」那 labels array。（就像查字典，我们想查某个中文字的日语翻译，但我们只有汉英字典和英日字典，所以要两次 look up，出现了 array1[ array2[ i ] ] 这样的语法。这是很常见的。）

4. 哪个颜色出现最多？

用这个 loop 计算每个 label 出现的次数：

    like1 = 0              ＃ 标签是「不喜欢这男孩」 的点的个数

    like2 = 0              ＃ 标签是「普通喜欢这男孩」的点的个数

    like3 = 0              ＃ 标签是「非常喜欢这男孩」的点的个数

    for i in range(0, k):

        label = first_k_labels[i]

        if label == 1:

            like1 += 1

        elif label == 2:

            like2 += 1

        elif label == 3:

            like3 += 1

然后，找出出现次数最多那个 label：

    if like1 &gt; like2 and like1 &gt; like3:      # 如果 like1 出现最多

        best_label = 1                        # 答案是「不喜欢这男孩」

    elif like2 &gt; like1 and like2 &gt; like3:    ＃ 如果 like2 出现最多

        best_label = 2                        # 答案是「普通喜欢这男孩」

    else:                                    ＃ 如果 like3 出现最多

        best_label = 3                        # 答案是「非常喜欢这男孩」

5. 完工！

    return best_label

Testing

实际的 Python program，还要加上这几行 "header"：

# -*- coding: utf-8 -*-          # 加了這句可以用中文 comments

from numpy import array

from math import sqrt

运行结果：

这例子里，「？」的坐标是 [4.54e+04, 4.98e+00]，那是我看了数据后作出来的。　4.54e+04 是 scientific notation，即是 $4.54 \times 10^4$。

我把 k 增加到 600，才开始看到 like2 不是 0。