最短路径之迪杰斯特拉（Dijkstra)算法

对于网图来说，最短路径，是指两顶点之间经过的边上权值之和最少的路径，并且我们称路径上的第一个顶点为源点，最后一个顶点为终点。最短路径的算法主要有迪杰斯特拉（Dijkstra)算法和弗洛伊德（Floyd)算法。本文先来讲第一种，从某个源点到其余各顶点的最短路径问题。

这是一个按路径长度递增的次序产生最短路径的算法，它的大致思路是这样的。

初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度.

比如说要求图7-7-3中顶点v0到v1的最短路径，显然就是1。由于顶点v1还与v2,v3,v4连线，所以此时我们同时求得了v0->v1->v2 = 1+3 = 4, v0->v1->v3 = 1 +7 = 8, v0->v1->v4 = 1+5 = 6。

现在我们可以知道v0到v2的最短距离为4而不是v0->v2 直接连线的5，如图7-7-4所示。由于顶点v2还与v4,v5连线，所以同时我们求得了v0->v2->v4其实就是v0->v1->v2->v4 = 4+1=5，v0->v2->v5 = 4+7 = 11，这里v0->v2我们用的是刚才计算出来的较小的4。此时我们也发现v0->v1->v2->v4 = 5要比v0->v1->v4 = 6还要小，所以v0到v4的最短距离目前是5，如图7-7-5所示。

当我们要求v0到v3的最短路径时，通向v3的三条边，除了v6没有研究过外，v0->v1->v3 = 8, 而v0->v4->v3 = 5 +2 = 7，因此v0到v3的最短路径为7,如图7-7-6所示。

如上所示，这个算法并不是一下子就求出来v0到v8的最短路径，而是一步步求出它们之间顶点的最短距离，过程中都是基于已经求出的最短路径的基础上，求得更远顶点的最短路径，最终得到想要的结果。

#include <iostream>
using namespace std;

const int maxnum = ;
const int maxint = ;

// 各数组都从下标1开始
int dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度
int prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点
int c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度
int n, line;             // 图的结点数和路径数

// n -- n nodes
// v -- the source node
// dist[] -- the distance from the ith node to the source node
// prev[] -- the previous node of the ith node
// c[][] -- every two nodes' distance
void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])
{
    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中
    for(int i=; i<=n; ++i)
    {
        dist[i] = c[v][i];
        s[i] = ;     // 初始都未用过该点
        if(dist[i] == maxint)
            prev[i] = ;
        else
            prev[i] = v;
    }
    dist[v] = ;
    s[v] = ;

    // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中
    // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度
         // 注意是从第二个节点开始，第一个为源点
    for(int i=; i<=n; ++i)
    {
        int tmp = maxint;
        int u = v;
        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
        for(int j=; j<=n; ++j)
            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)
            {
                u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码
                tmp = dist[j];
            }
        s[u] = ;    // 表示u点已存入S集合中

        // 更新dist
        for(int j=; j<=n; ++j)
            if((!s[j]) && c[u][j]<maxint)
            {
                int newdist = dist[u] + c[u][j];
                if(newdist < dist[j])
                {
                    dist[j] = newdist;
                    prev[j] = u;
                }
            }
    }
}

// 查找从源点v到终点u的路径，并输出
void searchPath(int *prev,int v, int u)
{
    int que[maxnum];
    int tot = ;
    que[tot] = u;
    tot++;
    int tmp = prev[u];
    while(tmp != v)
    {
        que[tot] = tmp;
        tot++;
        tmp = prev[tmp];
    }
    que[tot] = v;
    for(int i=tot; i>=; --i)
        if(i != )
            cout << que[i] << " -> ";
        else
            cout << que[i] << endl;
}

int main()
{
    freopen("input.txt", "r", stdin);
    // 各数组都从下标1开始

    // 输入结点数
    cin >> n;
    // 输入路径数
    cin >> line;
    int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度

    // 初始化c[][]为maxint
    for(int i=; i<=n; ++i)
        for(int j=; j<=n; ++j)
            c[i][j] = maxint;

    for(int i=; i<=line; ++i)
    {
        cin >> p >> q >> len;
        if(len < c[p][q])       // 有重边
        {
            c[p][q] = len;      // p指向q
            c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图
        }
    }

    for(int i=; i<=n; ++i)
        dist[i] = maxint;
    for(int i=; i<=n; ++i)
    {
        for(int j=; j<=n; ++j)
            printf("%8d", c[i][j]);
        printf("\n");
    }

    Dijkstra(n, , dist, prev, c);

    // 最短路径长度
    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;

    // 路径
    cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";
    searchPath(prev, , n);
}

输入数据:
5
7
1 2 10
1 4 30
1 5 100
2 3 50
3 5 10
4 3 20
4 5 60
输出数据:
999999 10 999999 30 100
10 999999 50 999999 999999
999999 50 999999 20 10
30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5

参考：http://tech.ddvip.com/2013-06/1371580493197421.html

http://www.wutianqi.com/?p=1890