Solutions for the Maximum Subsequence Sum Problem

The maximum subarray problem is the task of finding the contiguous subarray within a one-dimensional array of numbers (containing at least one positive number) which has the largest sum. For example, for the sequence of values −2, 1, −3, 4, −1, 2, 1, −5, 4; the contiguous subarray with the largest sum is 4, −1, 2, 1, with sum 6. --from wiki

下面我们分析四种算法的时间性能,由于运行时间相差较大，我们分成两组进行对比：

环境：ubuntu 12.04

时间单位：ms

时间性能：presume that the input is preread

第一组：输入数据元素个数2000

 C++ Code 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

/*************************************************************************     > File Name: algorithm1.c     > Author: Simba     > Mail: dameng34@163.com     > Created Time: 2012年12月24日 星期一 22时41分56秒  ************************************************************************/ #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<time.h> #include<sys/time.h> int maxsubsum1(const int a[], int n) {     int thissum, maxsum, i, j, k; maxsum = 0;     for (i = 0; i < n; i++)     {         for (j = i; j < n; j++)         {             thissum = 0;             for (k = i; k <= j; k++)                 thissum += a[k]; if (thissum > maxsum)                 maxsum = thissum;         }     }     return maxsum; } int maxsubsum2(const int a[], int n) {     int thissum, maxsum, i, j; maxsum = 0;     for (i = 0; i < n; i++)     {         thissum = 0;         for (j = i; j < n; j++)         {             thissum += a[j]; if (thissum > maxsum)                 maxsum = thissum;         }     }     return maxsum; } long GetTickCount(void) {     struct timeval tv; gettimeofday(&tv, NULL); return (tv.tv_sec * 1000 + tv.tv_usec / 1000); } int main(void) {     int i, n = 2000;     int *ptr = malloc(sizeof(int) * n);     srand(time(NULL));     for (i = 0; i < n; i++)         ptr[i] = rand() % 50 - 25;     // adopt algorithm  1     unsigned int utimecost = GetTickCount();     int result = maxsubsum1(ptr, n);     utimecost = GetTickCount() - utimecost;     printf("max subsequence sum is %d, time cost %d\n", result, utimecost); // adopt algorithm  2     utimecost = GetTickCount();     result = maxsubsum2(ptr, n);     utimecost = GetTickCount() - utimecost;     printf("max subsequence sum is %d, time cost %d\n", result, utimecost); free(ptr); return 0; }

输出为：

max subsequence sum is 275, time cost 4423
max subsequence sum is 275, time cost 6

第二组：输入数据元素个数 1000000

 C++ Code 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105

/*************************************************************************     > File Name: divide_conquer.c     > Author: Simba     > Mail: dameng34@163.com     > Created Time: 2012年12月24日 星期一 23时24分41秒  ************************************************************************/ #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<time.h> #include <sys/time.h> /* struct timeval, gettimeofday(), struct itimerval, setitimer(), ITIMER_REAL */ int divide_conquer(int arr[], int start, int end) {     if(start == end)         return (arr[start] > 0 ? arr[start] : 0); int mid = (start + end) / 2;     int max_left = divide_conquer(arr, start, mid);     int max_right = divide_conquer(arr, mid + 1, end);     // mid subsequence int max_left_border = 0;     int tmp_sum = 0;     int i; for(i = mid; i >= start; i--)     {         tmp_sum += arr[i];         if(tmp_sum > max_left_border)             max_left_border = tmp_sum;     } int max_right_border = 0;     tmp_sum = 0;     for(i = mid + 1; i <= end; i++)     {         tmp_sum += arr[i];         if(tmp_sum > max_right_border)             max_right_border = tmp_sum;     } int max_mid = max_left_border + max_right_border;     // max subsequence     int iresult = max_left;     if(max_right > iresult)         iresult = max_right;     if(max_mid > iresult)         iresult = max_mid;     return iresult; } int maxsubsum3(const int a[], int n) {     int j, thissum, maxsum;     thissum = maxsum = 0;     for (j = 0; j < n; j++)     {         thissum += a[j]; if (thissum > maxsum)             maxsum = thissum;         else if (thissum < 0)             thissum = 0;     } return maxsum; } long GetTickCount(void) {     struct timeval tv; gettimeofday(&tv, NULL); return (tv.tv_sec * 1000 + tv.tv_usec / 1000); } int main(void) {     int i, n = 1000000;     int *ptr = malloc(sizeof(int) * n);     srand(time(NULL));     for (i = 0; i < n; i++)         ptr[i] = rand() % 50 - 25;     // adopt divide_conquer algorithm     unsigned int utimecost = GetTickCount();     int result = divide_conquer(ptr, 0, n - 1);     utimecost = GetTickCount() - utimecost;     printf("max subsequence sum is %d, time cost %d\n", result, utimecost);     // adopt algorithm 3     utimecost = GetTickCount();     result = maxsubsum3(ptr, n);     utimecost = GetTickCount() - utimecost;     printf("max subsequence sum is %d, time cost %d\n", result, utimecost); free(ptr); return 0; }

输出为：

max subsequence sum is 2410, time cost 217
max subsequence sum is 2410, time cost 4

分析：

在《data
structure and algorithm analysis in
c》中有对这四种算法时间性能的分析，依次下来分别是O(n^3)，O(n^2)，O(nlogn)，O(n)，即使我们在第二组输入的元素个数是第一组的500倍，第二组的运行时间都要比第一组的小。下图2-2是作者写书时测试的时间列表，显然现在的机器运行得更快。