SDU暑期集训排位（3）

B. Mysterious LCM

做法

• 保留 \(a_i|x\) 的元素，其它元素解体。
• \(a_i\) 的某个质因子的指数，要和 \(x\) 的这个质因子一样多，才有贡献，否则这个质因子它在划水啊。
• 那么问题转化为选出极少的数字，使得每个数字不划水的质因子并起来等于 \(x\) 的全体质因子集合。
• 把不划水的质因子集合分类，等价于选出种类最少的集合，并出 \(x\) 质因子全集，一个优化：如果集合 B 是集合 A 的子集，集合 B 可以去除。
• 比赛时做法不是很合理，复杂度为 \(O(\binom{c}{c/2}2^c)\)，\(c\) 为 \(x\) 中质因子个数，\(dp[x][mask]\) 表示，考虑前 \(x\) 种不划水集合，能否凑出 \(mask\)。
• 这个问题题解中讲到了两个做法。
  • 一个是 FWT，我们用 \(f[mask]\) 表示有没有不划水的质因子集合为 \(mask\)，对 \(f\) 不断地做 or Convolution，直到 \(2^c-1\) 上非 0. 复杂度 \(O(c^22^c)\)
  • 另一种是 SOS DP。用 \(dp[mask]\) 表示至少需要选择几个数字，才能包含 \(mask\) 的质因子。枚举 \(mask\)，枚举 \(mask\) 的拆分，\(dp[mask]=min\{dp[mask_1]+dp[mask_1\ xor\ mask]\}(mask_1 为 mask 子集)\) 就 OK 了，复杂度 \(O(3^c)\)。
• 另一个历史遗留问题是，如何分解，质因数，统计 \(x\) 中每个质因子出现次数，wanna fly winter camp day 2 里 Tls 对这类问题有详细讲解。
  • 两种方法：一个是泼辣的肉，易解体，不推荐施展。
  • 另一个，我们需要注意到一个数字大于 1e6 的质因子不会超过 2 个，因此筛去 1e6 以下质因子后，一定是 \(1,p,pq,p^2\) 中的某种形式。
    • \(p^2\) 非常好解决，判断 sqrt 是否为整数即可。
    • 1 挂机就好，所有的质因子都已统计完毕，睡觉去。
    • \(pq\),\(p\) 很令人烦躁，纠缠在一起，难以分离，但是我们可以把 \(a_i\) 中的数字也筛去 1e6 一下的质因子，如果剩下的部分不等于 1，且不等于 x，那么剩下部分一定等于 \(p,q\) 中一种，我们就把 \(pq\) 解体了，如果剩下的部分要么等于 1，要么等于 \(x\) 那么我们可以把 \(pq\) 当成一个质因子。

C. Swipe Your Time Away

做法 预处理向上下左右各能延伸多远。

D. DarkCity, CrimsonCity ofFlightLand

做法 先预处理每条边需要多少油，dijkstra

E. Consecutive Letters

做法 先加入所有 #，然后时光倒流，还原 #，维护 # 左右连通性，以及连通块 size

F. Palindromadness

题意 对每个回文子串串求是多少回文子串的子串
做法

• 先建PAM后统计每个回文串的出现次数
• 对于点u，需要统计\(\sum cnt[v]\)，\(v\)到\(u\)有一条经过树边或fail边的路径
• 能否直接在\(DAG\)上解决此问题？解体
• 观察出一个性质：如果\(u\)到\(v\)有路径，那么一定有一条路径先经过若干树边，然后经过若干条fail边到达\(v\)。
• 所以对于一个点，只需要统计能直接或间接fail到它的所有点的子树的和就好了，这样就有了fail树上启发式合并+线段树维护回文树dfs序的做法。。。。复杂度\(O(nlog^2n)\)
• 题解有一个更强的性质：如果\(u\)到\(v\)有路径，那么一定有一条路径先经过若干树边，然后经过最多一条fail边到达\(v\)
• 一眼看上去这个性质肯定不对，然后发现举不出反例，然后发现一定是对的，然后感觉好牛逼
• 这样只需要统计能直接fail到这个点的所有点的子树就行了，复杂度\(O(nlogn)\)或\(O(n)\)

G. Decode The Alien Message

做法 签到

H. Triangle Inside Rectangle Inside Pentagon

做法

• 考虑内接的正 \(n\) 边形的边长与，正 \(n+1\) 边形边长的比例。
• 手玩 \(n=3\)

I. Fibonacci Power Sum

做法1 求出前 100 项，吟唱BM。

做法2

• \(f(n)^k = (f(n-1)+f(n-2))^k = \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i}f(n-1)^{i}f(n-2)^{k-i}\)
• \(f(n)^{x}f(n-1)^{k-x}=(f(n-1)+f(n-2))^{x}f(n-1)^{k-x}=\sum_{i=0}^{x}\binom{x}{i}f(n-1)^{i+k-x}f(n-2)^{x-i}\)

好，线性递推来了。所以我们吟唱 BM 吧，这谁顶得住啊。