noi openjudge 1768：最大子矩阵

链接：http://noi.openjudge.cn/ch0406/1768/

描述
已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是1 * 1)子矩阵。

比如，如下4 * 4的矩阵

0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

的最大子矩阵是

9 2
-4 1
-1 8

这个子矩阵的大小是15。
输入
输入是一个N * N的矩阵。输入的第一行给出N (0 < N <= 100)。再后面的若干行中，依次（首先从左到右给出第一行的N个整数，再从左到右给出第二行的N个整数……）给出矩阵中的N2个整数，整数之间由空白字符分隔（空格或者空行）。已知矩阵中整数的范围都在[-127, 127]。
输出
输出最大子矩阵的大小。
样例输入
4
0 -2 -7 0 9 2 -6 2
-4 1 -4 1 -1

8 0 -2
样例输出
15

芒果君：第一次看到这道题，还是在贪心里，就特别懵逼，后来dalao教我用矩阵前缀和来写，画个图的话就很容易理解啦~

(a:元素，sum:从a（1,1）到a（i,j）所有值的和，就是前缀和。)

边读入边求前缀和(sum)，用这个公式来求：①+②+③-④ 得出sum(5,3)=a(5,3)+sum(4,3)+sum（5,2）-sum(4,2);

好像有点递推思想呢？

然后四重循环暴力枚举所有子矩阵，找到最大值！

公式：①-②-③+④，枚举出（2，2）到（5，3）的矩阵大小t=sum(5,3)-sum(5,1)-sum(1,3)+sum(1,1)，更新最大值。代码如下——

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 int ju[][],sum[][],n,i,j,k,l,ans;
 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     for(i=;i<=n;++i)
         for(j=;j<=n;++j){
             scanf("%d",&ju[i][j]);
             sum[i][j]=ju[i][j]+sum[i-][j]+sum[i][j-]-sum[i-][j-];
         }
     for(i=;i<=n;++i)
         for(j=;j<=n;++j)
             for(k=;k<=i;++k)
                 for(l=;l<=j;++l)
                     ans=max(ans,sum[i][j]+sum[k-][l-]-sum[i][l-]-sum[k-][j]);
     printf("%d",ans);
     return ;
 }

然后呢，这道题用DP做就是酱紫的（参考最大子序列和）~读入的时候求每一列的前缀和，再用三重循环把它处理成子矩阵(i,j限制行的范围，k是列)。抽象的看，是由线到面的转化。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 int ju[][],f[],n,i,j,k,ans;
 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     for(i=;i<=n;++i)
         for(j=;j<=n;++j){
             scanf("%d",&ju[i][j]);
             ju[i][j]+=ju[i-][j];
         }
     for(i=;i<=n;++i)
         for(j=;j<i;++j){
             for(k=;k<=n;++k)
                 f[k]=ju[i][k]-ju[j][k];
             for(k=;k<=n;++k){
                 f[k]=max(f[k],f[k-]+f[k]);
                 ans=max(ans,f[k]);
             }
         }
     printf("%d",ans);
     return ;
 }

各位dalao看懂了吗？没看懂也不关我的事~

（最后不负责任的博主在一片骂声中点下了保存修改）