2017.10.7北京清北综合强化班DAY7

1．计数

(count.cpp/c/pas)

时间限制：1s

内存限制：256MB

【问题描述】

给出m个数a[1],a[2],…,a[m]

求1~n中有多少数不是a[1],a[2],…,a[m]的倍数。

【输入】

输入文件名为count.in。

第一行，包含两个整数：n,m

第二行，包含m个数，表示a[1],a[2],…,a[m]

【输出】

输出文件名为count.out。

输出一行，包含1个整数，表示答案

【输入输出样例】

count.in	count.out
10 2 2 3	3

【数据说明】

对于60%的数据，1<=n<=10⁶

对于另外20%的数据，m=2

对于100%的数据，1<=n<=10⁹,0<=m<=20,1<=a[i]<=10⁹

题解：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

int cnt,n,m,x,vis[];

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=;i<=m;i++){
        scanf("%d",&x);
        for(int j=;j*x<=n;j++){
            if(!vis[j*x]){
                vis[j*x]=true;
                cnt++;
            }
        }
    }
    printf("%d\n",n-cnt);
    return ;
}

60暴力

考试时用的map判重全T =…=

正解：容斥原理...考试时想到了..可是当时不会容斥..

一个区间内某个数倍数的个数=r/x-(l-1)/x，可是1--n中12既是3的倍数，又是4.6.的倍数

会被筛掉好几次，所以答案=n/一个数-n/两个数的lcm+n/三个数的lcm.....

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;

int n,m,ans,a[];

inline int read(){
    char ch=getchar();int x=,f=;
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')f=-;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=x*+ch-'';
    return x*f;
}

LL gcd(LL x,LL y){
    return y==?x:gcd(y,x%y);
}

void dfs(int now,int cnt,LL lcm){
    if(lcm>n)return;//加上剪枝108ms，不加600ms
    if(now==m+){
        if(cnt&)ans+=n/lcm;
        else if(cnt)ans-=n/lcm;
        return;
    }
    dfs(now+,cnt,lcm);
    LL p=lcm/gcd(lcm,a[now])*a[now];
    dfs(now+,cnt+,p);
}

int main(){
    n=read();m=read();
    for(int i=;i<=m;i++)a[i]=read();
    dfs(,,);
    printf("%d\n",n-ans);
    return ;
}

AC

2．第k大区间

(kth.cpp/c/pas)

时间限制：1s

内存限制：256MB

【问题描述】

定义一个长度为奇数的区间的值为其所包含的的元素的中位数。

现给出n个数，求将所有长度为奇数的区间的值排序后，第K大的值为多少。

【输入】

输入文件名为kth.in。

第一行两个数n和k

第二行，n个数。（0<=每个数<2³¹）

【输出】

输出文件名为kth.out。

一个数表示答案。

【输入输出样例】

kth.in	kth.out
4 3 3 1 2 4	2

【样例解释】

[l,r]表示区间l~r的值

[1,1]：3

[2,2]：1

[3,3]：2

[4,4]：4

[1,3]：2

[2,4]：2

【数据说明】

对于30%的数据，1<=n<=100；

对于60%的数据，1<=n<=300

对于80%的数据，1<=n<=1000

对于100%的数据，1<=n<=100000, k<=奇数区间的数

题目大意：定义一段奇数长度区间的值为它的中位数，求所有奇数区间值的第k大。

题解：二分答案

假设现在二分的答案为t，那么怎样统计比t大的区间的个数呢？设s[i]为1--i大于等于t的数的个数，

发现，如果一个区间的中位数的大小比t大，那么s[r]-s[l-1]>(r-l+1)/2,==> 2*s[r]-r>2*s[l-1]-(l-1)，

我们用树状数组统计一下s[r]>s[l]的个数，因为r,l的奇偶性不同，要维护两个树状数组。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define LL long long
#define maxn 100009
using namespace std;

int n,l,r,mid,ans,a[maxn],b[maxn],tree[maxn*][];
LL k;

void add(int pos,int p){
    if(pos<=)return;
    for(;pos<=maxn*;pos+=pos&(-pos))tree[pos][p]++;
}

LL getsum(int pos,int p){
    LL all=;if(pos<=)return ;
    for(;pos;pos-=pos&(-pos))all+=tree[pos][p];
    return all;
}

bool check(int p){
    LL s=;
    memset(tree,,sizeof(tree));
    for(int i=;i<=n;i++)b[i]=a[i]>=p?:,b[i]+=b[i-];
    for(int i=;i<=n;i++)b[i]=*b[i]-i+n;
    add(n,);//???
    for(int i=;i<=n;i++){
        s+=getsum(b[i],(i&)^);
        add(b[i],(i&));
    }
    return s>=k;
}

int main(){
    scanf("%d%lld",&n,&k);
    for(int i=;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),r=max(r,a[i]);
    while(l<=r){
        mid=(l+r)>>;
        if(check(mid))ans=mid,l=mid+;
        else r=mid-;
    }
    printf("%d\n",ans);
    return ;
}

AC

3. 区间求和

（sum.cpp/c/pas）

时间限制：2s

内存限制：256MB

【问题描述】

有n个数，给定一个k，求所有长度大于等于k的区间中前k大数的总和。这样就比较简单相信大家都会，所以此题要求当k=1~n的总和，即求

 

【输入】

输入文件名为sum.in。

输入五个数n,a1,A,B,C。a1表示第一个数，A,B,C用来生成其余n-1个数。a(i)=(a(i-1)*A+B)mod C。1<=n<=1,000,000,0<=a1,A,B,C<=1,000,000,000

【输出】

输出文件名为sum.out。

一个数表示答案，最后答案对1,000,000,007取模。

【输入输出样例】

sum.in	sum.out
3 3 1 1 10	63

【样例解释】

三个数为3,4,5

K=1:[1,1]=3,[1,2]=[2,2]=4,[1,3]=[2,3]=[3,3]=5

(表示各个区间在k=1时的答案)

K=2:[1,2]=7,[2,3]=[1,3]=9

K=3:[1,3]=12

【数据说明】

对于30%的数据，1<=n<=100

对于60%的数据，1<=n<=300

对于80%的数据，1<=n<=1000

对于100%的数据，1<=n<=1000000

题解：树状数组...不会做...

首先我们讨论对于一个固定的区间[l,r]假设它的答案为ans，那么如果新增加一个数a[r+1]，

对于新的区间[l,r+1]，a[r+1]出现的次数为小于a[r+1]的数的次数+1。

所以我们要统计对于Ai<Aj &&i<j的个数，那么包含这两个数的区间为的个数为(n-j+1)*i,

Aj对答案的贡献为Aj*i*(n-j+1)。当Ai>Aj时同理，倒过来处理。

另外之前一直WA的原因是，离散化的时候应该双关键字查找，因为Ai<Aj时i<j。

还有模少了爆Int...

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define mod 1000000007
#define maxn 1000009
#define LL long long
using namespace std;

LL n,ans,A,B,C,a[maxn],tree[maxn];
typedef pair<LL,int> PII;
PII b[maxn];

void add(int x,int p){
    for(;x<=n;x+=x&(-x))tree[x]=(tree[x]+p)%mod;
}

LL getsum(int x){
    LL all=;
    for(;x;x-=x&(-x))all=(all+tree[x])%mod;
    return all;
}

int main(){
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&a[],&A,&B,&C);
    b[].first=a[];b[].second=;
    for(int i=;i<=n;i++){
        a[i]=(a[i-]*A+B)%C;
        b[i].first=a[i];b[i].second=i;
    }
    sort(b+,b+n+);
    for(int i=;i<=n;i++)
     a[i]=lower_bound(b+,b+n+,make_pair(a[i],i))-b;
    for(int i=;i<=n;i++){
        add(a[i],i);
        LL tmp=b[a[i]].first*1LL*(n-i+)%mod;
        LL amp=getsum(a[i]);
        ans=(ans%mod+tmp*amp%mod)%mod;
    }
    memset(tree,,sizeof(tree));
    for(int i=n;i>=;i--){
        LL  tmp=(b[a[i]].first*1LL*i)%mod;
        LL  amp=getsum(a[i]);
        ans=(ans%mod+tmp*amp%mod)%mod;
        add(a[i],n-i+);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return ;
}

AC