POJ - 3041 Asteroids（最小点覆盖数）

1、有一个n*n的矩阵，在矩阵上有k个行星，用武器射击一次可以消灭一行或者一列的行星，求消灭所有的行星的最少射击次数。

2、最小点覆盖数 = 最大匹配数

主要在于转化：看图：

这样，在建成的二分图中，一条边代表一个行星，左边的一个点代表横向射击，右边的一个点代表竖向射击。

要求最少的射击次数把所有的行星消灭，即选择最少的点，把所有的边覆盖。这不正是求最小点覆盖数吗。

ps：

顶点覆盖：在顶点集合中，选取一部分顶点，这些顶点能够把所有的边都覆盖了。这些点就是顶点覆盖集

最小顶点覆盖：在所有的顶点覆盖集中，顶点数最小的那个叫最小顶点集合。

3、

3.1匈牙利算法（邻接矩阵）：

/*
顶点编号从0开始的
邻接矩阵（匈牙利算法）
二分图匹配（匈牙利算法的DFS实现）（邻接矩阵形式）
初始化：g[][]两边顶点的划分情况
建立g[i][j]表示i->j的有向边就可以了，是左边向右边的匹配
g没有边相连则初始化为0
uN是匹配左边的顶点数，vN是匹配右边的顶点数
左边是X集，右边是Y集
调用：res=hungary();输出最大匹配数
优点：适用于稠密图，DFS找增广路，实现简洁易于理解
时间复杂度：O(VE)
*/
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;

const int MAXN=;
int uN,vN;//u,v 的数目，使用前面必须赋值
int g[MAXN][MAXN];//邻接矩阵，记得初始化
int linker[MAXN];//linker[v]=u，表示v（右边Y集合中的点）连接到u（左边X集合中的点）
bool used[MAXN];
bool dfs(int u){//判断以X集合中的节点u为起点的增广路径是否存在
    for(int v=;v<vN;v++)//枚举右边Y集合中的点
        if(g[u][v]&&!used[v]){//搜索Y集合中所有与u相连的未访问点v
            used[v]=true;//访问节点v
            if(linker[v]==-||dfs(linker[v])){//是否存在增广路径
                //若v是未盖点（linker[v]==-1表示没有与v相连的点，即v是未盖点），找到增广路径
                //或者存在从与v相连的匹配点linker[v]出发的增广路径
                linker[v]=u;//设定(u,v)为匹配边，v连接到u
                return true;//返回找到增广路径
            }
        }
        return false;
}
int hungary(){//返回最大匹配数（即最多的匹配边的条数）
    int res=;//最大匹配数
    memset(linker,-,sizeof(linker));//匹配边集初始化为空
    for(int u=;u<uN;u++){//找X集合中的点的增广路
        memset(used,false,sizeof(used));//设Y集合中的所有节点的未访问标志
        if(dfs(u))res++;//找到增广路，匹配数（即匹配边的条数）+1
    }
    return res;
}

int main(){
    int i,ans;
    int N,K;
    int R,C;
    while(~scanf("%d%d",&N,&K)){
        uN=N;//匹配左边的顶点数
        vN=N;//匹配右边的顶点数
        memset(g,,sizeof(g));//二分图的邻接矩阵初始化
        for(i=;i<K;++i){
            scanf("%d%d",&R,&C);
            g[--R][--C]=;//顶点编号从0开始的
        }
        ans=hungary();
        printf("%d\n",ans);
    }
    return ;
}

ps：补一个用网络流解的，如下：

3.2、用网络流也可以来做，边的容量设为1即可。

用网络流的第1个模板写的，1、SAP邻接矩阵形式：

/*
SAP算法（矩阵形式）
结点编号从0开始
*/
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;

const int MAXN=;
int maze[MAXN][MAXN];
int gap[MAXN],dis[MAXN],pre[MAXN],cur[MAXN];
int sap(int start,int end,int nodenum){
    memset(cur,,sizeof(cur));
    memset(dis,,sizeof(dis));
    memset(gap,,sizeof(gap));
    int u=pre[start]=start,maxflow=,aug=-;
    gap[]=nodenum;
    while(dis[start]<nodenum){
        loop:
            for(int v=cur[u];v<nodenum;v++)
                if(maze[u][v]&&dis[u]==dis[v]+){
                    if(aug==-||aug>maze[u][v])aug=maze[u][v];
                    pre[v]=u;
                    u=cur[u]=v;
                    if(v==end){
                        maxflow+=aug;
                        for(u=pre[u];v!=start;v=u,u=pre[u]){
                            maze[u][v]-=aug;
                            maze[v][u]+=aug;
                        }
                        aug=-;
                    }
                    goto loop;
                }
            int mindis=nodenum-;
            for(int v=;v<nodenum;v++)
                if(maze[u][v]&&mindis>dis[v]){
                    cur[u]=v;
                    mindis=dis[v];
                }
            if((--gap[dis[u]])==)break;
            gap[dis[u]=mindis+]++;
            u=pre[u];
    }
    return maxflow;
}

int main(){
    int i;
    int N,K;
    int R,C;
    int S,T;//超级源点，超级汇点

    while(~scanf("%d%d",&N,&K)){
        memset(maze,,sizeof(maze));
        for(i=;i<K;++i){
            scanf("%d%d",&R,&C);
            maze[R-][N+C-]=;//顶点编号从0开始的
        }
        //建立超级源点
        S=N+N;
        for(int i=;i<N;++i){
            maze[S][i]=;
        }
        //建立超级汇点
        T=N+N+;
        for(int i=;i<N;++i){
            maze[N+i][T]=;
        }

        printf("%d\n",sap(S,T,N+N+));

    }
    return ;
}