题解-洛谷P1020P导弹拦截（求单调序列长度的优化）

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1020

（原题链接）

　　第一问就是求最长不上升子序列的长度，自然就想到了c++一本通里动态规划里O（n^2）的算法，但题目明确说明“为了让大家更好地测试n方算法，本题开启spj，n方100分，nlogn200分每点两问，按问给分”，自然是要写O(nlogn)的算法才能AC哦。

　　对于这种nlogn的算法，只能求出长度，不能求出具体的序列。这种算法实现过程如下：

　　我们定义len为到目前为止最长不上升子序列的长度，d[l]表示此长度为l的不上升子序列的末尾数据中最小的那个，a[i]为输入的第i个结果。先使d[1]=a1，len=1。我们从i=2(i<=n)开始看：

　　如果a[i]<=d[len]，那么使d[++len]=a[i]，即扩充一下目前的最长不上升子序列；

　　否则，a[i]>d[len]，就在数组d中从前往后找到第一个<a[i]的元素d[j]，此时d[i1,2,...,j-1]都>=a[i]，那么它完全可以接上d[j-1]然后生成一个长度为j的不上升子序列，而且这个子序列比当前的d[j]这个子序列更有潜力（因为这个数比d[j]大），所以就替换掉它就行了。

　　至于第一个大于它的怎么找……STL中的 upper_bound（x,x+n,num,greater<int>()），每次复杂度logn,在不严格单调增加的int型x数组从头找到下标n-1,若找到第一个比num小的数，则返回它的地址，否则返回下标为n的数的地址（地址-数组名=数的下标）。别忘了头文件为<algorithm>。更多用法详见https://blog.csdn.net/qq_40160605/article/details/80150252

　　第二问可由Dilworth定理（大致意思是一个数列分成不上升（或不下降）子序列的最小数=该数列的最长上升（或下降）子序列的长度）知该问是求最长上升子序列

的长度。具体实现过程与第一问类似只是将第一问实现过程中加粗的4个不等号分别改成“>,<=,>,<=”就行了，思路与第一问一模一样。

终于上代码了：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 int a[],d[];
 int n;
 void bss();
 void ss();
 int main()
 {
     char ch=' ';
     while(ch==' ')
     {
         scanf("%d",&a[++n]);
         ch=getchar();
     }
     bss();//求最大不上升序列长度的函数
     ss();//求最大上升序列的长度的函数
     return ;
 }
 void bss()
 {
     int len=;
     d[len]=a[];
     for(int i=;i<=n;++i)
     {
         if(a[i]<=d[len])
         {
             d[++len]=a[i];
         }
         else
         {
             d[upper_bound(d+,d+len+,a[i],greater<int>())-d]=a[i];
         }
     }
     cout<<len<<endl;
 }
 void ss()
 {
     int len=;
     d[len]=a[];
     for(int i=;i<=n;++i)
     {
         if(a[i]>d[len])
         {
             d[++len]=a[i];
         }
         else
         {
             if(a[i]!=d[len])
             {
             d[lower_bound(d+,d+len+,a[i])-d]=a[i];
             }
         }
     }
     cout<<len;
 }//代码已AC

加油吧！

2019.2