[openjudge-动态规划]Maximum sum

题目描述

题目原文

描述

Given a set of n integers: A={a1, a2,…, an}, we define a function d(A) as below:

d(A)=max(∑i=s1t1ai+∑j=s2t2aj|1&lt;=s1&lt;=t1&lt;s2&lt;=t2&lt;=n)" role="presentation" style="position: relative;">d(A)=max(∑t1i=s1ai+∑t2j=s2aj|1<=s1<=t1<s2<=t2<=n)d(A)=max(∑i=s1t1ai+∑j=s2t2aj|1<=s1<=t1<s2<=t2<=n)

Your task is to calculate d(A).

输入

The input consists of T(<=30) test cases. The number of test cases (T) is given in the first line of the input.

Each test case contains two lines. The first line is an integer n(2<=n<=50000). The second line contains n integers: a1, a2, …, an. (|ai| <= 10000).There is an empty line after each case.

输出

Print exactly one line for each test case. The line should contain the integer d(A).

样例输入

1

10

1 -1 2 2 3 -3 4 -4 5 -5

样例输出

13

提示

In the sample, we choose {2,2,3,-3,4} and {5}, then we can get the answer.

Huge input,scanf is recommended.

来源

POJ Contest,Author:Mathematica@ZSU

翻译

描述

给定一组N个整数：A ={A1，A2，…，An}，我们定义一个函数D（A）如下：

d(A)=max(∑i=s1t1ai+∑j=s2t2aj|1&lt;=s1&lt;=t1&lt;s2&lt;=t2&lt;=n)" role="presentation" style="position: relative;">d(A)=max(∑t1i=s1ai+∑t2j=s2aj|1<=s1<=t1<s2<=t2<=n)d(A)=max(∑i=s1t1ai+∑j=s2t2aj|1<=s1<=t1<s2<=t2<=n)

你的任务是计算D（A）。

输入

输入包括T（T<=30）的测试数据。

测试数据的数目（T），在输入的第一行。每个测试用例包含两行。

第一行是整数n（2<= N <=50000）。第二行包含n个整数：A1，A2，...，An。（|Ai|&lt;=10000）" role="presentation" style="position: relative;">A1，A2，...，An。（|Ai|<=10000）A1，A2，...，An。（|Ai|<=10000）。每个样例例后有一个空行。

输出

每个测试用例只有一行，该行应包含整数D（A）。

提示

在示例中，我们选择{2,2,3，-3,4}和{5}，那么我们就可以得到答案。

在有巨大的输入数据时，scanf是最高效的。

来源

POJ 竞赛,作者:Mathematica@ZSU

分析

这是一道比较经典的动态规划题。这道题的难点主要是在怎样将问题分解。我们先从一个点开始，假定这个点的左边有一个最大子段，右边也有一个最大子段。那答案就是每个点左右最大子段的和的最大值。那怎么左右最大字段和呢？我们可以计算左边和右边到i-1,i+1点的最大和，再求i点的最大和，递推公式为：

第一步：leftsum[i]=max(a[i],a[i]+leftsum[i−1])" role="presentation" style="position: relative;">leftsum[i]=max(a[i],a[i]+leftsum[i−1])leftsum[i]=max(a[i],a[i]+leftsum[i−1])

rightsum[i]=max(a[i],a[i]+rightsum[i+1])" role="presentation" style="position: relative;">rightsum[i]=max(a[i],a[i]+rightsum[i+1])rightsum[i]=max(a[i],a[i]+rightsum[i+1])

第二步：leftsum[i]=max(leftsum[i],leftsum[i−1])" role="presentation" style="position: relative;">leftsum[i]=max(leftsum[i],leftsum[i−1])leftsum[i]=max(leftsum[i],leftsum[i−1])

rightsum[i]=max(rightsum[i],rightsum[i+1])" role="presentation" style="position: relative;">rightsum[i]=max(rightsum[i],rightsum[i+1])rightsum[i]=max(rightsum[i],rightsum[i+1])

第三步：d(A)=max(leftsum[i]+rightsum[i+1])" role="presentation" style="position: relative;">d(A)=max(leftsum[i]+rightsum[i+1])d(A)=max(leftsum[i]+rightsum[i+1])

最后输出d(A)即可。

实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[50005],fa[50005],fb[50005],maxx;
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        fa[1]=a[1];
        for(int i=2;i<=n;i++)
            fa[i]=max(a[i],a[i]+fa[i-1]);
        fb[n]=a[n];
        for(int i=n-1;i>0;i--)
            fb[i]=max(a[i],a[i]+fb[i+1]);
        for(int i=2;i<=n;i++)
            fa[i]=max(fa[i],fa[i-1]);//求到位置i左边的最大序列
        for (int i=n-1;i>0;i--)
            fb[i]=max(fb[i],fb[i+1]);//求到位置i右边的最大序列
        maxx=fa[1]+fb[2];
        for(int i=1;i<n;i++)
            maxx=max(maxx,fa[i]+fb[i+1]);//找不同位置i的d(A)值，求出最大值
        printf("%d\n",maxx);
    }
}