Verilog中的有符号计算之认知补码

　　Verilog中的有符号计数，一般是自己定义的而不是像C语言之类的定义一个有符号变量就好了。所以，要想在FPGA的世界里随心所欲的进行有符号运算，必须先对补码有一个很好的认知，然后再注意Verilog中编程的几个特性，两者缺一不可。

　　对补码初步的认识：

　　1、正数的补码与源码相同，即正数的补码是其本身。

　　2、负数的补码，是对其源码（除符号位）取反再加一，于是得到其补码。

　　3、对负数的补码（除符号位）取反再加一，于是得到其源码。

　　4、正数的补码被定义为其本身，所以不需以上操作。（其实你也可以理解为正数没有补码）

　　5、“计算机”储存数时是以补码的形式储存的。

　　以四位二进制举例（最高位是其符号位）：

　　-7，负7的源码：1_111;

　　-7，负7的补码：1_001;

　　在此提出一个看法，帮助理解，补码是给计算机看的，源码是给人看的。

　　看看1 + (- 2) 如何计算，我们知道负数的话都是由补码储存的所以就是1 + （-2的补码），及

0_001 + 1_110 = 1_111;（最高为为符号位），所以1111及-1的补码（对负数的补码（除符号位）取反再加一，于是得到其源码）

　　这给我们了一个启示，前面说过“Verilog中的有符号计数，一般是自己定义的”，那么在写Verilog时我们把最高为作为符号位，我们通过最高位判断该数的正负。

对于FPGA的有符号计算，我觉得应该从两种情况进行分析。一种是：输入的两个数本来是无符号的，而由于运算导致结果是一个有符号的数（如1-7=-6）；

另一种是：输入的两个数是有符号的。

　　 对于第一种情况而言，1-7=-6，这个-6会自动以负数补码的形式储存在你声明的寄存器中。举一个例子：

input [:]A,
input [:]B,
output reg [:]Result

A，B作为两个运算的数，Result储存运算的结果，他们的最高位都是表示符号位。

假如：A = 0001，B = 0111；让A-B，那么1-7=-6及Result = 1010（-6 的补码，最高位是符号位），没有问题。

假如：A = 0111，B = 0111；让A+B，那么7+7=14及Result = 1110；此时如果最高位不是符号位那么Result=14没错，但是此时Result的最高为是符号位，所以结果是-1（1110是-1的补码）。

也就是，一旦产生了进位，结果就错了。所以我们改进一下。

input [:]A,
input [:]B,
output reg [4:]Result

我们把Result增加一位，那么7+7=14及Result = 01110；这样就对了；但是1-7，Result = 01010 = 10；这就错了。因为对于一个4位数

而言-6 的补码是1010，而对于一个5位数而言-6 的补码是11010。所以Result = 11010才对，但是A和B是一个4位数结果只会产生1010而赋值

给一个5位数的Result结果只能是01010（系统是不会帮你把最高位置1的）；所以这个1由我们自己置，正所谓，自己动手丰衣足食。对于补码而言

还有一个特性，只要确定该数是一个负数的补码，那么不管我们在符号位前面放置多少个1该数的值不变（但记住最高为始终是符号位），这类似与

一个正数前不管加多少个0它的值不变。举个例子1_010，表示-6的补码，那么1111111_010仍然是-6的补码。所以当我们判断该数是一个负数

补码的话，我们就可以安心的给最前面加个1了。

　　对于第一种情况而言，我们可以把程序写成这样：

module Test
(
    input CLK ,
    input RSTn,
    input [:]A,
    input [:]B,
    output reg [:]Result
); 

reg [:]i;
reg [:]TempRes;//中间结果
always @(posedge CLK or negedge RSTn)
    if(!RSTn) begin Result <='d0; i <= 2'd0; TempRes <= 'd0; end
        else
            case(i)
　　　　　　　　　 0:i <= i + 1'b1;
                ://求出A+B的结果
                    begin
　　　　　　　　　　　　　　Result <= A + B;
                        i <= i + 'b1;
                    end
                2://求出A-B的结果
                    begin

　　　　　　　　　　　　　　TempRes <= A - B;
                        Result <= TempRes[4] ? {1'b1,TempRes} : TempRes;
                        i <= i + 1'b1;

　　　　　　　　　　　　end 
　　　　　　　　endcase 

endmodule

这样的话，运算时不管是产生借位或是进位，都不会出错了，但前提是“第一种情况”——A，B都是无符号的数。现在我们反过来想想，为什么我要把Result扩充一位，

原因就是，为了避免产生进位是进位位会覆盖符号位，因为对于一个有符号的4位数他的表示的正数范围是0到7（呵呵，暂时把0划归到正数吧，这样平衡一些），负数范围是-8到-1。

而对与第一种情况而言，能产生的最大数就是是0111 + 0111 = 1110这种情况，也就是说进位位不可能威胁到符号位，从而确保了最高位只可能表示符号位。

以上程序可以写一个测试程序仿真，0:i <= i + 1'b1;这个是为了缓冲一个时钟周期，用于A，B信号的输入。测试程序如下：

initial
begin
    RSTn = ; #; RSTn = ;
    CLK = ; forever # CLK = ~CLK;
end       

always @(posedge CLK or negedge RSTn)
    if(!RSTn)begin A <= 'd0; B <= 0; end
        else begin A <= -; B <= ;end 

　　接下来讨论一下，第二种情况——输入的两个数是有符号的；（第一种情况其实是比第二种情况多见。）

这个请况比较麻烦，需要再次细分成几种小情况：

程序如下：

 module Test
 (
     input CLK ,
     input RSTn,
     input [:]A,
     input [:]B,
     output reg [:]Result
 ); 

 reg [:]i;
 reg [:]TempRes;//中间结果
 always @(posedge CLK or negedge RSTn)
     if(!RSTn) begin Result <='d0; i <= 2'd0; TempRes <= 'd0; end
         else
             case(i)
                 :i <= i + 'b1;
                 ://求出A+B的结果
                     begin
                         if(A[] == )//A为负数的情况----------------------------
                         begin
                             if(B[] == )    //B为负数
                                 Result <= ~{'b0,(~A + 1'b1 + ~B + 'b1)} + 1'b1;
                             else             //B为正数
                                 begin
                                     TempRes = B + A;//TempRes = B - (~A + 1'b1);
                                     Result <= TempRes[] ? {'b1,TempRes} : TempRes;
                                 end
                         end
                         else         //A为正数的情况----------------------------
                         begin
                             if(B[] == )    //B为负数
                                 begin
                                     TempRes = A + B;//TempRes = A - (~B + 1'b1);
                                     Result <= TempRes[] ? {'b1,TempRes} : TempRes;
                                 end
                             else             //B为正数
                                 Result <= A + B;
                         end
                         i <= i + 'b1;
                     end
                 ://求出A-B的结果
                     begin
                         if(A[] == )    //A为负数的情况----------------------------
                         begin
                             if(B[] == )    //B为负数
                             begin
                                 TempRes = (~B + 'b1) + A;//TempRes = (~B + 1'b1) - (~A + 'b1);
                                 Result <= TempRes[] ? {'b1,TempRes} : TempRes;
                             end
                             else             //B为正数
                                 Result <= ~{'b0,(~A + 1'b1 + B)} + 'b1;
                         end
                         else            //A为正数的情况----------------------------
                         begin
                             if(B[] == )    //B为负数
                             //Result <= A + (~B + 1'b1);//不知道为什么，这样Result最高位会被置1？？？？！！！！！！
                             Result <= {'b0,A - B};//Result <= {1'b0,A + (~B + 'b1)};
                             else             //B为正数
                                 begin
                                     TempRes <= A - B;
                                     Result <= TempRes[] ? {'b1,TempRes} : TempRes;
                                 end
                         end
                     end
             endcase        

 endmodule

要理解上面程序，首先理解这一句：

Result <= ~{1'b0,(~A + 1'b1 + ~B + 1'b1)} + 1'b1;

这种情况是A，B都为负数，A - B的情况，A和B都是负数补码，所以~A + 1'b1这样的操作就是将负数补码变成正数。将他们全变成正数后相加后，变成负数补码的形式，储存在Result中。类似于 -3 + -5 = -(3 + 5) = -8;

　其他情况，自行分析。至于57行不能写成那样，是什么原因还不清楚，知道的朋友请告诉我一声，先谢谢了。

//----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

对了，要补充一点，之前分析到：对于一个有符号的4位数他的表示的正数范围是1到7，负数范围是-8到-1。

多多少少也感觉到一定不平衡，正数能表示到7，而负数却能表示到-8。接就是1000～0111；-8～7这么个范围。

根据第3条：3、对负数的补码（除符号位）取反再加一，于是得到其源码。

我们把-8的补码去反加1，看看能不能得到正8，结果还是-8.我们来看看过程

1_000 ->取反（除符号位)->1_111-> 加1->1_000;我们再看看如果最高位不是符号位1000正好又是8！

　　这个也是补码让人头晕的地方，对于一个5位数也一样1_0000,表示-16，取反加1，还是-16.

  module Test
  (
      input CLK ,
      input RSTn,
      input [:]A,
      input [:]B,
      output reg [:]Result
  ); 

16 - （—16） = 32；而作为Result
而言，它的表示范围是-32到31。

但Result无法表示到32，这不是有问题吗？不是的，因为A和B是无法表示到16的顶多就是-16.所以以上情况不可能出现。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　—— 宋桓公
                                                                             2013-11-04