【ybt金牌导航1-2-3】折线统计

折线统计

题目链接：ybt金牌导航1-2-3

题目大意

在一个图上有一些点，保证任意两个点的横纵坐标都不相同。

要你选一些集合，按 x 坐标排序依次连接，会构成一些连续上升下降的折线，问你折线数量是 k 条的有多少个集合满足。

数量对 100007 取模。

思路

这道题我们考虑先看普通的 dp 怎么弄。

因为是按 \(x\) 坐标依次连边，那我们先把点按 \(x\) 坐标从小到大排序。那如果你在这里选一个集合，那在这里相连的就要连边。

那我们设 \(f_{i,j,k}\) 为前 \(i\) 个点在一定选 \(i\) 号点中选到形成了 \(j\) 段，然后最后一段的状态时 \(k\)。（\(k\) 只有上升 \(0\) 和下降 \(1\) 两个值）

很容易想到转移方程是先分上升下降，然后要么跟原来最后一段状态一样，要么不一样。

我们先以变成上升，就是转移后 \(k=0\) 的情况。

那如果不变，那就是段数不变，第一维要枚举 \(1\) 到 \(i-1\)，\(k\) 还是 \(0\)。

那如果改变，那就是段数增加了，原来的就要 \(-1\)，第一维还是枚举 \(1\sim i-1\)，那原来的 \(k\) 就变成了 \(1\)。

那变成下降，也是同一个道理。

但是第一维就不是枚举 \(1\sim i-1\)，而是 \(i+1\sim 100000\)，因为你是从高变低。

至于初始化，就是 \(f_{i,0,0}=f_{i,0,1}=1\)。

但是你这样枚举会超时。

那我们考虑用一些数据结构优化它。

这个要求区间和，还有单点更新值，很容易就想到用树状数组。

那枚举 \(1\sim i-1\) 就是直接查询 \(i-1\) 的位置，\(i+1\sim 100000\)，就用查询 \(100000\) 得出的值减去查询 \(i\) 的得出的值。（就是前缀和的思想）

然后基本上就可以了，记得取模。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define mo 100007
#define ll long long

using namespace std;

struct node {
	int x, y;
}zb[100001];
int n, k;
ll f[50001][11][2], tree[100001][11][2], re, ans;

bool cmp(node X, node Y) {
	return X.x < Y.x;
}

void add(int now, int j, int k, ll add_num) {//树状数组操作
	for (int i = now; i <= 100000; i += i & (-i))
		tree[i][j][k] = (tree[i][j][k] + add_num) % mo;
}

ll get(int now, int j, int k) {
	re = 0;
	for (int i = now; i; i -= i & (-i))
		re = (re + tree[i][j][k]) % mo;
	return re;
}

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &k);

	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d %d", &zb[i].x, &zb[i].y);
	}

	sort(zb + 1, zb + n + 1, cmp);//按 x 坐标排序

	f[0][0][0] = 1;
	f[0][0][1] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		f[i][0][0] = 1;
		f[i][0][1] = 1;

		add(zb[i].y, 0, 0, 1);
		add(zb[i].y, 0, 1, 1);//初始化

		for (int j = 1; j <= k; j++) {
			f[i][j][0] = (get(zb[i].y - 1, j, 0) + get(zb[i].y - 1, j - 1, 1)) % mo;
			//可以是跟前面一样上升，也可以变换，成为新的一段
			f[i][j][1] = ((get(100000, j, 1) - get(zb[i].y, j, 1) + get(100000, j - 1, 0) - get(zb[i].y, j - 1, 0)) % mo + mo) % mo;
			//同理，可以跟前面一样下降，也可以变换，由原来的上升变成下降
			//不过因为你是要下降，那你就要用全部减去上升的，才可以得到下降的
			//树状数组搞的是上升的，那如果你找 100000，就是最大值的话，就所有都找了一遍，就是全部的了
			//或者说这就是前缀和的思想

			add(zb[i].y, j, 0, f[i][j][0]);
			add(zb[i].y, j, 1, f[i][j][1]);
			//放进树状数组里面
		}

		ans = (ans + f[i][k][0]) % mo;//统计答案
		ans = (ans + f[i][k][1]) % mo;
	}

	printf("%lld", ans);

	return 0;
}