题意

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4111

题解

前置知识:矩阵树定理

不要问证明,我不会,用就完事了(反正一般也不会用到)

因为矩阵树定理就是求一张 $n$ 个点的简单无向图的生成树个数,时间复杂度为 $O(n^3)$,再看看这道题的数据范围,$n,m\le 9$,直接矩阵树定理就可以了……

注意因为我们要求方案数,这个数可能很大,而我们用高斯消元把矩阵消成上三角的话,由于要用 $double$,会出现精度误差,这种小数运算的误差在这种求方案数的题中是不允许的(因为方案数就是一个准确的整数,没有保留几位小数之说)。所以这里采用辗转相除法把高斯消元的非整数倍消元 转成多次整数倍消元,具体实现见代码,就是对矩阵的两行进行类似于辗转相除的操作。总时间复杂度就在普通 $O(n^3)$ 高消基础上 乘上每次辗转相除的复杂度(辗转相除的复杂度是 $O(辗转相除的两数中较小数在斐波那契数列的第几项)$)。

upd:时间复杂度应该是 $O(n^3+n^2 P)$($P$ 是模数,即值域),而不是网上大部分题解说的 $O(n^3 \log{P})$。证明(因为辗转相除的次数接近 $log$,我们可以近似地用 $log$ 表示辗转相除的复杂度):

 #include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 110
#define p 1000000000
using namespace std;
const int dx[] = {-, }, dy[] = {, -};
inline int read(){
int x = ; bool f = ; char c = getchar();
for(; !isdigit(c); c=getchar()) if(c == '-') f = ;
for(; isdigit(c); c=getchar()) x = (x<<) + (x<<) + (c^'');
if(f) return x;
return - x;
}
int n, m, tot, id[N][N];
bool e[N][N];
ll d[N][N];
char s[N];
ll solve(){
int n = tot - ;
bool tr = ;
ll ans = ; for(int i=; i<=n; ++i){
for(int j=i+; j<=n; ++j){
while(d[j][i]){
ll tmp = d[i][i] / d[j][i];
for(int k=; k<=n; ++k){ //辗转相除
d[i][k] = (d[i][k] - tmp * d[j][k] % p + p) % p;
swap(d[i][k], d[j][k]);
}
tr ^= ;
}
}
if(!d[i][i]) return ;
ans = ans * d[i][i] % p;
}
if(tr) ans = p - ans; //原型是 ans = -ans,交换奇数次行时,行列式值要取负
return ans;
}
int main(){
n = read(), m = read();
for(int i=; i<=n; ++i){
scanf("%s", s+);
for(int j=; j<=m; ++j)
if(s[j] == '.') e[i][j] = ;
}
for(int i=; i<=n; ++i){
for(int j=; j<=m; ++j){
if(!e[i][j]) continue;
id[i][j] = ++tot;
int u = id[i][j];
for(int k=; k<; ++k){
int x = i + dx[k], y = j + dy[k];
if(!e[x][y]) continue;
int v = id[x][y];
++d[u][u], ++d[v][v],
d[u][v] = (d[u][v] - + p) % p, d[v][u] = (d[v][u] - + p) % p;
}
}
}
cout << solve() << endl;
return ;
}

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