图论 公约数 找环和链 BZOJ [NOI2008 假面舞会]

BZOJ 1064: [Noi2008]假面舞会

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 1655  Solved: 798
[Submit][Status][Discuss]

Description

一年一度的假面舞会又开始了，栋栋也兴致勃勃的参加了今年的舞会。今年的面具都是主办方特别定制的。每个参加舞会的人都可以在入场时选择一 个自己喜欢的面具。每个面具都有一个编号，主办方会把此编号告诉拿该面具的人。为了使舞会更有神秘感，主办方把面具分为k (k≥3)类，并使用特殊的技术将每个面具的编号标在了面具上，只有戴第i 类面具的人才能看到戴第i+1 类面具的人的编号，戴第k 类面具的人能看到戴第1 类面具的人的编号。 参加舞会的人并不知道有多少类面具，但是栋栋对此却特别好奇，他想自己算出有多少类面具，于是他开始在人群中收集信息。 栋栋收集的信息都是戴第几号面具的人看到了第几号面具的编号。如戴第2号面具的人看到了第5 号面具的编号。栋栋自己也会看到一些编号，他也会根据自己的面具编号把信息补充进去。由于并不是每个人都能记住自己所看到的全部编号，因此，栋栋收集的信 息不能保证其完整性。现在请你计算，按照栋栋目前得到的信息，至多和至少有多少类面具。由于主办方已经声明了k≥3，所以你必须将这条信息也考虑进去。

Input

第一行包含两个整数n, m，用一个空格分隔，n 表示主办方总共准备了多少个面具，m 表示栋栋收集了多少条信息。接下来m 行，每行为两个用空格分开的整数a, b，表示戴第a 号面具的人看到了第b 号面具的编号。相同的数对a, b 在输入文件中可能出现多次。

Output

包含两个数，第一个数为最大可能的面具类数，第二个数为最小可能的面具类数。如果无法将所有的面具分为至少3 类，使得这些信息都满足，则认为栋栋收集的信息有错误，输出两个-1。

Sample Input

【输入样例一】

6 5
1 2
2 3
3 4
4 1
3 5

【输入样例二】

3 3
1 2
2 1
2 3

Sample Output

【输出样例一】
4 4

【输出样例二】
-1 -1

HINT

100%的数据，满足n ≤ 100000, m ≤ 1000000。

网上的代码+我的注解：

 /*
 1.当图中有环时，k必定是环长度的约数，那么答案就是全部环的最大公约数和最小的大于3的公约数
 （而且可以看出这个最大公约数一定是这个大于3的最小公约数的倍数，
 证明：假设真正的结果是m，因为最大公约数一定是n*m(n>=1),大于三的最小公约数一定是m的约数，
 所以这个最大公约数一定是这个大于3的最小公约数的倍数。可以用这个方法从最大值找到最小值），
 若最大公约数小于3则无解；
 2.当图中没有环时，最小值毫无疑问就是3了，k最大就是所有联通块最长链
 （假设每个联通块的最长链都可以接到一起，不能在一个联通块里找两条链，因为他们是有限制关系的，不能接起来）的和。
 3技巧：这里面有个技巧，因为如果有两个面具能看见同一个或一个能看见两个，那这两个的一定属于同一类，而且也有可能出现这样的联通块：1->2->3->4->5且6->7->5这样就变得不好处理了。可以把有向边换成无向边正向的话类数+1，反向的话类数-1。这样一来如果找到已经表过号的点就是找到了环，环的长度就是abs(将要编的号-已有编号)。而最长链就是一个联通块内最大编号-最小编号（因为有可能出现负数或0）。
 实现时，所有边建长度为1的正向边和长度为-1的反向边，会容易处理很多(这样可以将所有点都标记成到某点距离为多少，可以方便计算环的长度)。

 时间复杂度分析：
 标号的时间复杂度为O（n+m），枚举的时间复杂度是O（n）,找公约数的时间为O（log(n)），所以总时间复杂度为O（nlog(n)+m）.
 */
 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <cstdlib>
 #include <cmath>
 #define N 200000
 #define M 4000000

 using namespace std;

 int head[N],next[M],to[M],len[M];
 bool vis[N],bh[M];
 int d[N];
 int n,m,cnt,ans,tmax,tmin,an;

 inline void add(int u,int v,int w)
 {
     to[cnt]=v; len[cnt]=w; next[cnt]=head[u]; head[u]=cnt++;
 }

 inline void read()
 {
     memset(head,-,sizeof head); cnt=;
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=,a,b;i<=m;i++)
     {
         scanf("%d%d",&a,&b);
         add(a,b,); add(b,a,-);
     }
 }

 inline int gcd(int x,int y)/*ans的初值可以设为0，gcd(0,100)=100,只要把0放在第一位*/
 {
     int ys;
     while(y)
     {
         ys=x%y;
         x=y; y=ys;
     }
     return x;
 }

 inline void dfs(int u)
 {
     vis[u]=true;
     for(int i=head[u];~i;i=next[i])
     {
         if(vis[to[i]])/*找到了环*/
         {/*计算环的长度并对每个环的长度求最大公约数：abs(d[u]+len[i]-d[to[i]])，这个式子很好理解d[u]+len[i]-d[to[i]]，因为标记有可能是负值，所以要取绝对值*/
             ans=gcd(ans,abs(d[u]+len[i]-d[to[i]]));
         }
         else
         {
             d[to[i]]=d[u]+len[i];
             dfs(to[i]);
         }
     }
 }

 inline void tree(int u)
 {/*思路：将一个联通块找到第一个点标记为0，再用这个点找其他的点（不走重边），用所有点的编号的中的max-min+1，就是这个联通块中的结点数目*/
     vis[u]=true;
     tmax=max(tmax,d[u]);
     tmin=min(tmin,d[u]);
     for(int i=head[u];~i;i=next[i])
         if(!vis[to[i]])
         {
             bh[i]=bh[i^]=true;
             d[to[i]]=d[u]+len[i];
             tree(to[i]);
         }
 }

 inline void go()
 {
     for(int i=;i<=n;i++)
         if(!vis[i]) dfs(i);/*整张图有可能是森林*/
     if(ans)/*如果图中有环的话，那么ans就不是0*/
     {
         for(an=;an<ans&&ans%an;an++);/*再用ans寻找大于3的（可能等于ans），且能整除ans的，也就是环的最小公约数，是最小*/
     }
     else/*没有环的情况*/
     {
         memset(vis,,sizeof vis);
         for(int i=;i<=n;i++)
             if(!vis[i])/*最大是每个联通块中的最长链的长度和，没找到一个！vis[i]，就是一个联通块*/
             {
                 tmax=tmin=d[i]=;
                 tree(i);
                 ans+=tmax-tmin+;
             }
         an=;/*最小就是3了*/
     }
     if(ans<) ans=an=-;/*注意要把这个ans小于3，放在最后面，因为可能在没有环的情况下，把各个联通块的最长路径加在一起也超不过3，比如那种极端的网状图，最长路径就有可能是1了，所以要把这个ans<3放在外面。*/
     /*我一开始就是仅仅把ans<3放到了有环的判断中，结果错了一个点*/
     printf("%d %d\n",ans,an);
 }

 int main()
 {
     read();go();
     return ;
 }

我的代码：

 #define N 100010
 #define M 1000100
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 #include<cstdio>
 int n,m,ans=,an,head[N],t=-,d[N];
 bool vis[N]={},bianflag[M<<];
 struct Edge{
     int v,w,last;
 }edge[M<<];
 int read1()
 {
     int ret=,ff=;
     char s=getchar();
     while(s<''||s>'')
     {
         if(s=='-') ff=-;
         s=getchar();
     }
     while(s>=''&&s<='')
     {
         ret=ret*+s-'';
         s=getchar();
     }
     return ret*ff;
 }
 void add_edge(int u,int v,int w)
 {
     ++t;
     edge[t].v=v;
     edge[t].w=w;
     edge[t].last=head[u];
     head[u]=t;
 }
 void input()
 {
     n=read1();m=read1();
     int a,b;
     memset(head,-,sizeof(head));
     for(int i=;i<=m;++i)
     {
         scanf("%d%d",&a,&b);
         add_edge(a,b,);
         add_edge(b,a,-);
      }
 }
 int gcd(int a,int b)
 {
     if(!b) return a;
     return gcd(b,a%b);
 }
 void dfs1(int k)
 {
     vis[k]=true;
     for(int l=head[k];l!=-;l=edge[l].last)
     {
         if(vis[edge[l].v])
         {
             ans=gcd(ans,abs(d[k]+edge[l].w-d[edge[l].v]));
         }
         else {
             d[edge[l].v]=d[k]+edge[l].w;
             dfs1(edge[l].v);
         }
      }
 }
 void dfs2(int k,int &maxx,int &minn)
 {
     vis[k]=true;
     maxx=max(maxx,d[k]);
     minn=min(minn,d[k]);
     for(int l=head[k];l!=-;l=edge[l].last)
     {
         if(bianflag[l]) continue;
         bianflag[l]=true;
         bianflag[l^]=true;
         d[edge[l].v]=d[k]+edge[l].w;
         dfs2(edge[l].v,maxx,minn);
     }
  }
 int main()
 {
     input();
     for(int i=;i<=n;++i)
     {
         if(!vis[i]) dfs1(i);
     }
     if(ans)
     {
             for(an=;an<ans&&ans%an;++an); 

      }
      else
      {
          an=;
          memset(vis,false,sizeof(vis));
         for(int i=;i<=n;++i)
         {
             if(!vis[i])
             {
                 int maxx,minn;
                 maxx=minn=d[i]=;
                 dfs2(i,maxx,minn);
                 ans+=maxx-minn+;
                 //cout<<maxx<<" "<<minn<<" "<<ans<<endl;
             }
          }
      }
      if(ans<)
     {
         ans=-;an=-;
     }
      printf("%d %d",ans,an);
     return ;
 }