【BZOJ】【1038】【ZJOI2008】瞭望塔

计算几何/半平面交

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　　说是半平面交，实际上只是维护了个下凸壳而已……同1007水平可见直线

　　对于每条线段，能看到这条线段的点都在这条线段的“上方”，那么对所有n-1条线段求一个可视区域的交，就是求一个半平面交……（好扯）

　　一开始我想的是：直接找到这个下凸壳的最低点，它的y值就是答案辣～但是明显不对>_>这题让求的是塔的最低高度……不光要考虑塔顶，还要看塔底的啊！

　　那么我们怎么找呢？我们可以发现：随着x的变化，塔高（就是地面到凸壳的竖直距离，y坐标之差）是一个分段函数，分段点就是地面的折点以及凸壳的顶点！而且在每一段里面，塔高的值是一个一次函数！经过大胆猜想，小(bu)心(yong)证明我们发现：分段一次函数的极值在分段点和边界点处取到。

　　那么就是对这些点算一下答案就可以了……点数是O(n)的……

 /**************************************************************
     Problem: 1038
     User: Tunix
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:0 ms
     Memory:1292 kb
 ****************************************************************/

 //BZOJ 1038
 #include<cmath>
 #include<vector>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
 #define pb push_back
 using namespace std;
 inline int getint(){
     int v=,sign=; char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){ if (ch=='-') sign=-; ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){ v=v*+ch-''; ch=getchar();}
     return v*sign;
 }
 const int N=,INF=~0u>>;
 typedef long long LL;
 typedef double lf;
 const lf eps=1e-;
 /******************tamplate*********************/
 struct Point{
     lf x,y;
     void read(){scanf("%lf%lf",&x,&y);}
 }p[N];
 struct Line{double k,b;}l[N],st[N];
 Line make_line(Point a,Point b){
     Line tmp;
     tmp.k=(a.y-b.y)/(a.x-b.x);
     tmp.b=a.y-tmp.k*a.x;
     return tmp;
 }
 int n,top;
 inline bool cmp(Line a,Line b){
     if (fabs(a.k-b.k)<eps) return a.b<b.b;
     return a.k<b.k;
 }
 double crossx(Line x1,Line x2){
     return (x2.b-x1.b)/(x1.k-x2.k);
 }
 void insert(Line a){
     while(top){
         if (fabs(st[top].k-a.k)<eps) top--;
         else if (top> && crossx(a,st[top-])<=
                           crossx(st[top],st[top-])) top--;
         else break;
     }
     st[++top]=a;
 }
 lf Up(lf x){
     lf ans=0.0;
     F(i,,top)
         ans=max(ans,st[i].k*x+st[i].b);
     return ans;
 }
 lf Down(lf x){
     int pos;
     for(pos=;pos<n && p[pos+].x<x;pos++);
     if (pos==n) return -1e10;
     Line tmp=make_line(p[pos],p[pos+]);
     return tmp.k*x+tmp.b;
 }

 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("1038.in","r",stdin);
     freopen("1038.out","w",stdout);
 #endif
     n=getint();
     F(i,,n) scanf("%lf",&p[i].x);
     F(i,,n) scanf("%lf",&p[i].y);
     F(i,,n-) l[i]=make_line(p[i+],p[i]);
     sort(l+,l+n,cmp);
     F(i,,n-) insert(l[i]);
     lf ans=1e10;
     F(i,,n) ans=min(ans,Up(p[i].x)-p[i].y);
     F(i,,top){
         Point p;
         p.x=crossx(st[i-],st[i]);
         p.y=st[i].k*p.x+st[i].b;
         ans=min(ans,p.y-Down(p.x));
     }
     printf("%.3lf\n",ans);
     return ;
 }

1038: [ZJOI2008]瞭望塔

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MB
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Description

致
力于建设全国示范和谐小村庄的H村村长dadzhi，决定在村中建立一个瞭望塔，以此加强村中的治安。我们将H村抽象为一维的轮廓。如下图所示
我们可以用一条山的上方轮廓折线(x1, y1), (x2, y2), …. (xn, yn)来描述H村的形状，这里x1 < x2 <
…< xn。瞭望塔可以建造在[x1, xn]间的任意位置,
但必须满足从瞭望塔的顶端可以看到H村的任意位置。可见在不同的位置建造瞭望塔，所需要建造的高度是不同的。为了节省开支，dadzhi村长希望建造的塔
高度尽可能小。请你写一个程序，帮助dadzhi村长计算塔的最小高度。

Input

第一行包含一个整数n，表示轮廓折线的节点数目。接下来第一行n个整数, 为x1 ~ xn. 第三行n个整数，为y1 ~ yn。

Output

仅包含一个实数，为塔的最小高度，精确到小数点后三位。

Sample Input

【输入样例一】
6
1 2 4 5 6 7
1 2 2 4 2 1
【输入样例二】
4
10 20 49 59
0 10 10 0

Sample Output

【输出样例一】
1.000
【输出样例二】
14.500

HINT

对于100%的数据， N ≤ 300，输入坐标绝对值不超过106，注意考虑实数误差带来的问题。

Source

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