【纪中集训2019.3.12】Mas的仙人掌

题意：

​ 给出一棵\(n\)个点的树，需要加\(m\)条边，每条边脱落的概率为\(p_{i}\) ,求加入的边在最后形成图中仅在一个简单环上的边数的期望；

\(1 \le n \ , m \le 10^6\)

题解：

• 考虑每一条边的贡献是\((1-p_{i})*\Pi_{j}p_{j}(j!=i)\)，这里\(j\)和\(i\)不能同时加入；

• 一条加入的边可以看成一条树上路径 ，即求所有和路径\(i\)相交的路径\(j\)的\(p_{j}\)的乘积；

• 将一条树上的链\((u,v)\)拆成两条\((u,lca)\)和\((v,lca)\);

• 这样会算重复\(i\)和\(j\)的两条链都相交的情况，但是这样\((u,lca)\)上\(lca\)的儿子是唯一的，\(v\)同理，\(hash\)去掉多算的部分；

• 考虑一条路径\((u,v) dep[u]<dep[v]\),考虑一个点的子树里向上有长度为\(2\)的链的个数，简单容斥预处理出在\(v\)的子树里但不在\((u,v)\)上的点对答案的贡献；

• 在\((u,v)\)上的点直接每条链在最下端打标记即可；

• 时间复杂度：O(\(nlog \ n\))

  #include<bits/stdc++.h>
  #define ll long long
  #define mod 998244353
  using namespace std;
  const int N=1000010;
  int n,m,o=1,hd[N],a[N],b[N],ia[N],ans[N];
  int fa[N][21],bin[21],dep[N],cnt,tot;
  int s1[N],s2[N],s3[N];
  ll s4[N];
  struct Edge{int v,nt;}E[N<<1];
  struct data{
  	int u,v,w,id;
  }A[N],B[N<<1];
  int pw(int x,int y){
  	int re=1;
  	while(y){
  		if(y&1)re=(ll)re*x%mod;
  		y>>=1;x=(ll)x*x%mod;
  	}
  	return re;
  }//
  void adde(int u,int v){
  	E[o]=(Edge){v,hd[u]};hd[u]=o++;
  	E[o]=(Edge){u,hd[v]};hd[v]=o++;
  }//
  char gc(){
  	static char*p1,*p2,s[1000000];
  	if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
  	return(p1==p2)?EOF:*p1++;
  }//
  int rd(){
  	int x=0;char c=gc();
  	while(c<'0'||c>'9')c=gc();
  	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc();
  	return x;
  }//
  const int sz=1234651;
  struct HASH{
  	int o,U[N],V[N],w[N],hd[sz],nt[N];
  	int ask(int u,int v){
  		if(u>v)swap(u,v);
  		int x = ((ll)u*mod+v)%sz;
  		for(int i=hd[x];i;i=nt[i]){
  			if(U[i]==u&&V[i]==v)return w[i];
  		}
  		return 1;
  	}
  	void upd(int u,int v,int y){
  		if(u>v)swap(u,v);
  		int x = ((ll)u*mod+v)%sz;
  		for(int i=hd[x];i;i=nt[i]){
  			if(U[i]==u&&V[i]==v){w[i]=(ll)w[i]*y%mod;return;}
  		}
  		nt[++o]=hd[x];hd[x]=o;U[o]=u,V[o]=v;w[o]=y;
  	}
  }H;//
  void dfs1(int u,int F){
  	dep[u]=dep[fa[u][0]=F]+1;
  	for(int i=1;bin[i]<dep[u];++i)fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
  	for(int i=hd[u];i;i=E[i].nt){
  		int v=E[i].v;
  		if(v==F)continue;
  		dfs1(v,u);
  	}
  }//
  int go(int u,int d){
  	for(int i=0;i<20&&d;++i)if(d&bin[i])d^=bin[i],u=fa[u][i];
  	return u;
  }//
  int lca(int u,int v){
  	if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);
  	u=go(u,dep[u]-dep[v]);
  	if(u==v)return u;
  	for(int i=19;~i;--i)if(fa[u][i]!=fa[v][i])u=fa[u][i],v=fa[v][i];
  	return fa[u][0];
  }//
  void dfs2(int u,int F){
  	for(int i=hd[u];i;i=E[i].nt){
  		int v=E[i].v;
  		if(v==F)continue;
  		dfs2(v,u);
  		s2[u]=(ll)s2[u]*s2[v]%mod;
  		s3[u]=(ll)s3[u]*s2[v]%mod;
  		s4[u]=(s4[u]+s4[v]);
  	}
  }//
  void dfs3(int u,int F){
  	for(int i=hd[u];i;i=E[i].nt){
  		int v=E[i].v;
  		if(v==F)continue;
  		s1[v]=(ll)s1[u]*s1[v]%mod;
  		s2[v]=(ll)s2[u]*s2[v]%mod;
  		s3[v]=(ll)s3[u]*s3[v]%mod;
  		s4[v]=(s4[u]+s4[v]);
  		dfs3(v,u);
  	}
  }//
  inline int cal1(int u,int v){return (ll)s1[u]*pw(s1[v],mod-2)%mod;}
  inline int cal2(int u,int v){return (ll)s2[u]*pw(s2[v],mod-2)%mod;}
  inline int cal3(int u,int v){return (ll)s3[u]*pw(s3[v],mod-2)%mod;}
  inline ll cal4(int u,int v){return s4[u]-s4[v];}
  //
  int main(){
  	freopen("cactus.in","r",stdin);
  	freopen("cactus.out","w",stdout);
  	n=rd();m=rd();
  	for(int i=bin[0]=1;i<=20;++i)bin[i]=bin[i-1]<<1;
  	for(int i=1;i<n;++i)adde(rd(),rd());
  	dfs1(1,0);
  	for(int i=1;i<=max(n,m);++i){ans[i]=s1[i]=s2[i]=s3[i]=1;}
  	for(int i=1,u,v,w,p,q;i<=m;++i){
  		u=rd();v=rd();w=lca(u,v);
  		a[i]=rd();ia[i]=pw(a[i],mod-2);
  		b[i]=(1+mod-a[i])%mod;
  		if(!a[i]){
  			s4[u]++;s4[v]++;s4[w]-=2;
  			if(u!=w){
  				p=go(u,dep[u]-dep[w]-1);
  				B[++cnt]=(data){u,w,p,i};
  			}
  			if(v!=w){
  				q=go(v,dep[v]-dep[w]-1);
  				B[++cnt]=(data){v,w,q,i};
  			}
  			if(u!=w&&v!=w){
  				A[++tot]=(data){p,q,0,i};
  			}
  			continue;
  		}//
  		if(u!=w){
  			p=go(u,dep[u]-dep[w]-1);
  			B[++cnt]=(data){u,w,p,i};
  			s1[u]=(ll)s1[u]*a[i]%mod;
  			s2[u]=(ll)s2[u]*a[i]%mod;
  			s2[p]=(ll)s2[p]*ia[i]%mod;
  		}
  		if(v!=w){
  			q=go(v,dep[v]-dep[w]-1);
  			B[++cnt]=(data){v,w,q,i};
  			s1[v]=(ll)s1[v]*a[i]%mod;
  			s2[v]=(ll)s2[v]*a[i]%mod;
  			s2[q]=(ll)s2[q]*ia[i]%mod;
  		}
  		if(u!=w&&v!=w){
  			A[++tot]=(data){p,q,0,i};
  			H.upd(p,q,ia[i]);
  		}
  	}
  	dfs2(1,0);
  	dfs3(1,0);
  	for(int i=1;i<=tot;++i){
  		int u=A[i].u,v=A[i].v;
  		ans[A[i].id]=(ll)ans[A[i].id]*H.ask(u,v)%mod;
  	}
  	for(int i=1;i<=cnt;++i){
  		int u=B[i].u,v=B[i].v,w=B[i].w,now=1;
  		now=cal3(u,v);
  		now=(ll)now*pw(cal2(u,w),mod-2)%mod;
  		now=(ll)now*cal1(u,v)%mod;
  		ans[B[i].id]=(ll)ans[B[i].id]*now%mod;
  		int t = cal4(u,v);
  		if(!a[B[i].id])t-=dep[u]-dep[v];
  		if(t)ans[B[i].id]=0;
  	}
  	int Ans=0;
  	for(int i=1;i<=m;++i){
  		ans[i] = (ll)ans[i]*b[i]%mod;
  		if(a[i])ans[i] = (ll)ans[i]*pw(a[i],mod-2)%mod;
  		Ans=(Ans+ans[i])%mod;
  	}
  	cout<<Ans<<endl;
  	return 0;
  }