后缀自动机 (SAM)

后缀自动机

定义

定义 SAM 为一个有限状态自动机，接受且仅接受 $S$ 的一个后缀。

同时，SAM 是这样的自动机中最小的那个，其中状态数至多为 $2n - 1$，转移数至多为 $3n - 4$。

基本性质

SAM 是一张 DAG。
SAM 上从源点 $t_0$ 出发经过的任意一条路径为原串的一个子串，因此 SAM 上一个节点对应一个子串集合。

单有这些基础性质是不够的，我们可以考虑多寻找一些 SAM 的性质来使用必要条件构造出 SAM。

首先我们需要引入一些强相关定义：

结束位置 endpos

对于字符串 $s$ 的任意非空子串 $t$，我们记 $\mathrm{endpos}(t)$ 为 $t$ 在 $s$ 中的所有出现的结尾位置构成的集合。

对于 $\rm endpos$，我们不加证明地给出如下性质。

对于 $s$ 的任意两个非空子串 $t_1, t_2(|t_1| \le |t_2|)$，其中 $t_1$ 为 $t_2$ 的一个后缀当且仅当：$\mathrm{endpos}(t_2) \subseteq \mathrm{endpos}(t_1)$。
对于 $s$ 的任意两个非空子串 $t_1, t_2(|t_1| \le |t_2|)$，一定满足：$\mathrm{endpos}(t_1) \cap \mathrm{endpos}(t_2) = \mathrm{endpos}(t_2) / \varnothing$。

在给出第三条性质之前，我们先定义 $\rm endpos$ 集等价类，即我们将 $\rm endpos$ 集相同的子串看作是一个等价类。

对于同一等价类内的子串，其长度连续。

有了关于 $\rm endpos$ 集的性质之后，我们发现对于 SAM，需要满足如下性质：

SAM 上任意一个节点对应子串的 $\rm endpos$ 集相同。

对于任意的节点 $x$，我们考虑其表示的任意一个子串 $t$ 到经过其的后缀的结尾距离构成的集合 $S$。

不难发现就是从 $x$ 开始往后遍历到所有终止态经过的节点数构成的集合。

该集合的构成显然与 $t$ 无关，仅与 $x$ 有关因此该性质成立。

SAM 上不存在两个节点 $u, v$ 使得 $u, v$ 的 $\rm endpos$ 集相同。

反证法：若存在则可以将两个节点合并（转移也合并），SAM 减小与最小性不符。

由此，我们可知 SAM 上的每个节点唯一对应原串的一个等价类。

后缀 Link

对于字符串 $s$ 的任意一个子串 $t$，定义后缀 $\mathrm{link}_t$ 为 $t$ 最长的后缀使得其与 $t$ 的 $\rm endpos$ 集不同，特别地，若不存在则将 $\mathrm{link}_t \leftarrow 0$。

容易得知，根据后缀 $\rm link$ 连边，我们可以得到一颗树，这颗树称为 $\rm parent$ 树。

但这个信息量是巨大的，我们不妨使用 SAM 的结构和 $\rm endpos$ 的性质压缩这个结构。

根据 $\rm endpos$ 集的定义，同一个等价类中子串的后缀 $\rm link$ 是相同的。

因此我们可以将所有子串压缩为等价类一个节点，而将连边改为等价类之间的连边，从直观上来看，这样大大减少了连边数。

压缩之后为了储存信息，根据等价类的性质 $3$，我们只需储存当前等价类内子串的最长长度 $len$，和最短长度 $minlen$ 即可。

同时，后缀 $\rm link$ 还满足如下性质：

对于字符串 $s$ 的任意子串 $t_1$，对于另一个子串 $t_2$，其中 $t_2$ 为 $t_1$ 在 $\rm parent$ 树上的祖先当且仅当 $t_2$ 为 $t_1$ 的一个后缀。
$\rm parent$ 树的节点数至多为 $2n - 1$，即等价类 / SAM 上的节点数至多为 $2n - 1$。

考虑从上往下暴力构造一颗 $\rm parent$ 树。

具体地，我们从根节点 $t_0$ 出发，特别地，我们令此时的 $\rm endpos$ 集为全集，同时维护一个字符串，初始时为空串。

每次我们在当前的的字符串前加上一个字符 $c$，计算该字符串的 $\rm endpos$ 集。

我们扣掉 $\rm endpos$ 集为空集的字符串，若剩下的字符串 $\rm endpos$ 集只存在一种，那么显然这些字符串与当前字符串的 $\rm endpos$ 集相等，可以直接将这些字符串归为同一个等价类，此时节点数不变。

若剩下的字符串存在至少两种 $\rm endpos$ 集，那么按照 $\rm endpos$ 集的不同进行划分新建节点将这些节点连向当前节点。对这些新的节点递归操作。

我们只关心新建的节点总数量，可以发现这个流程可以抽象为将一个大小为 $n$ 的集合不断划分至大小为 $1$ 的集合，划分的次数即为新建的节点数量。

对于这个划分数量的最大值可以简单地得到一个 $2n - 2$ 的上界，加上源点总共至多 $2n - 1$ 个节点。

SAM 的构造

一般地，考虑增量法。令当前字符串为 $s$，位置为 $i$，需要往后加一个字符 $c$。

首先对于 $s + c$ 的后缀，$\rm endpos$ 集一定存在 $i + 1$，且之前的所有 $\rm endpos$ 都不存在 $i + 1$，因此一定要新建节点 $new$。

为了求得 $s + c$ 的所有后缀，我们可以遍历 $s$ 的所有后缀然后在其后添加字符 $c$。

由此，我们可以借助 $\rm parent$ 树来遍历 $s$ 的所有后缀，同时，我们也需要维护出新建节点的后缀 $\rm link$。

此时我们发现，对于 $s$ 的后缀，一定满足：

存在一个分界点使得前一部分后缀满足 $+c$ 后在 $s$ 中不出现，后一部分后缀满足 $+c$ 后在 $s$ 出现。同时该分界点在两个等价类之间。

因此对于分界点以前的节点，显然 $+c$ 后 $\rm endpos$ 集中只存在 $i + 1$，因此可以直接在 SAM 上向 $new$ 连边。

特别地，若不存在一个后缀满足 $+c$ 后在 $s$ 中出现，我们将 $\mathrm{link}_{new} \leftarrow 0$，接下来将不会考虑这种情况。

我们找到第一个等价类使得其 $+c$ 后在 $s$ 中出现，令该节点为 $p$，找到 $+c$ 的串在原 $s$ 当中的等价类 $q$。

此时我们有如下性质：

$len_q \ge len_p + 1, minlen_q \le minlen_p + 1$。

我们可以发现，此时 $q$ 这个等价类当中长度为 $(len_p + 1, len_q]$ 的子串 $\rm endpos$ 集中将不存在 $i + 1$，而长度为 $[minlen_q, len_p + 1]$ 的子串 $\rm endpos$ 集中包含 $i + 1$。

（特别地，若 $len_q = len_p + 1$ 我们最后考虑）

由此，我们需要将 $q$ 分裂为两个等价类，我们新建节点 $clo$，令它表示后者构成的等价类，那么需执行如下操作：

先将 $q$ 的全部信息复制给 $clo$，然后执行如下操作：len[clo] = len[p] + 1, link[q] = clo

由于等价类已经改变，因此之前连向 $q$ 的转移需要重新定向。

显然需要重新定向的只有 $p$ 的祖先节点当中有向 $q$ 转移的节点，需要把它们都改为 $clo$。

同时，我们需要把 $new$ 的后缀 $\rm link$ 指向 $clo$。

最后，如果 $len_q = len_p + 1$，那么 $q$ 中所有的子串 $\rm endpos$ 都会加上 $i + 1$，我们只需要修改 $new$ 的后缀 $\rm link$ 指向 $clo$。

正确性证明

容易发现，除了最小性以外，开始提到的 SAM 需要满足的所有性质都能很容易地利用构造 SAM 的流程证明正确性。

而最小性的证明理论比较复杂，这里不涉及。

复杂度证明

状态数

在后缀 $\rm link$ 中我们已经使用了一种与 SAM 构造无关的方式证明了一个上界为 $2n - 1$。

同时，通过 SAM 的构造，我们可以轻松地看出 SAM 的状态数也即等价类数量的一个上界为 $2n - 1$。

转移数

我们令 $last$ 表示考虑完 $s$ 构造的 SAM 中 $s$ 这个整串对应的状态。

我们发现，每次向 $new$ 连边，$last$ 会一直跳后缀 $link$，最后停下的位置为 $top$ 那么其一定满足：

$minlen_{clo} \le minlen_{top} + 1$。

令 $top$ 由 $lst$ 这个位置跳过来。

$minlen_{new} \le minlen_{lst} + 1$

考虑令势能函数 $\varphi(x) = minlen_x$。

\[\varphi(last) - \varphi(lst) + 1 \le \varphi(last) - \varphi(new) + 2
\]

于是总连边量（不包括复制连边）为：

\[\sum \varphi(last) - \varphi(new) + 2 = 2n - \varphi(new_n) \le 2n - 1
\]

复制连边的复杂度证明好像假了，先鸽。。。先记着总转移数大小的结论：不超过 $3n - 4$.

复杂度

首先，除了重定向部分，其余部分的复杂度与状态数和转移数相同，因此只考虑重定向部分的复杂度。

令势能函数 $\lambda(x) = \mathrm{len}(\mathrm{link}(\mathrm{link}(x)))$，那么重定向的复杂度有上界：$\varphi(top) - \lambda(new) \le \varphi(last) - \lambda(new)$.

更近一步地，将 $last$ 初次跳两次后缀 $\rm link$ 的复杂度单独写开：$2 + \lambda(last) - \lambda(new)$ 那么有总复杂度：

\[\sum\limits 2 + \lambda(last) - \lambda(new) \le 2n
\]

因此构建 SAM 的复杂度是线性的。

广义后缀自动机

定义

广义后缀自动机是一个 DFA 接受且仅接受给定的多个模式串 $s_1, s_2, \cdots s_m$ 其中任意一个的任意后缀。

同样的，广义后缀自动机也满足最小性，核心构造思路（$endpos$ 集等价类合并压缩）与 SAM 完全一致，性质为 SAM 扩展到多模式串层面，类似于 KMP 自动机和 AC 自动机之间的关系。

构造方式

首先类似于 AC 自动机的构建方式，我们将给定的 $m$ 个模式串建出 trie 树。

然后按照 bfs 序依次建立，这时与 SAM 建立时满足的性质完全相同。

复杂度

状态数和转移数上界与 SAM 中相同，只与 trie 树大小相关。

重定向部分利用与 SAM 重定向部分一样的势能分析方法，复杂度也是线性的。