[codevs3657]括号序列

题目大意：有一列只有'('，')'，'['，']'构成的括号序列，求在序列中至少加上多少括号，能使该序列合法。

解题思路：区间dp。

我们以$f[i][j]$表示把区间$[i,j]$添成合法括号所需的最小括号数。

设某段序列为$S_0$，它对应区间为$[i,j]$，括号数为$f[i][j]$.

若$S_0$形如$(S_1)$或$[S_1]$，$f[i][j]=min\{f[i][j],f[i+1][j−1]\}$;即令$S_1$合法后，$S_0$可合法。

若$S_0$形如$(S_1$或$[S_1$，$f[i][j]=min\{f[i][j],f[i+1][j]+1\}$;即令$S_1$合法后，$S_0$可在最后添加一个括号后合法。

同理，若$S_0$形如$S_1)$或$S_1]$,

$f[i][j]=min\{f[i][j],f[i][j-1]+1\}$;
无论$S_0$是什么情况，都有$f[i][j]=min\{f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]\},i≤k<j$;

即把序列分成两部分分别使其合法。

这样的时间复杂度为$O(n^3)$。

注意i要倒着循环，否则可能会出现某些情况还没计算就要使用的情况。

C++ Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define min(a,b) (((a)<(b))?(a):(b))
char s[120];
int f[120][120];
int main(){
	scanf("%s",s+1);
	int n=strlen(s+1);
	memset(f,0,sizeof f);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		f[i][i]=1;
		for(int j=i+1;j<=n;++j)f[i][j]=0x3f3f3f3f;
	}
	for(int i=n;i;--i){
		for(int j=i+1;j<=n;++j){
			if(s[i]=='('&&s[j]==')'||s[i]=='['&&s[j]==']')
			f[i][j]=f[i+1][j-1];
			if(s[i]=='('||s[i]=='[')
			f[i][j]=min(f[i][j],f[i+1][j]+1);
			if(s[i]==')'||s[i]==']')
			f[i][j]=min(f[i][j],f[i][j-1]+1);
			for(int k=i;k<j;++k)
			f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);
		}
	}
	printf("%d\n",f[1][n]);
	return 0;
}