题意:给你矩阵A,求S=A+A^1+A^2+...+A^n

sol:直接把每一项解出来显然是不行的,也没必要。

我们可以YY一个矩阵:

其中1表示单位矩阵

然后容易得到:

可以看出这个分块矩阵的左下角那块就可以得到要求的解S

我们取这一块,再减去一个单位矩阵1即可。

为了保持右下角一直是1,所以右上的位置必须是0,由于需要不断移位,所以1是必要的,A是必要的,所以第一列保证移位,

第二列保证保留1,因此我们能成功构造出....

这个题还可以根据等比矩阵的性质来进行求解...后面补(x

  1 #include <iostream>
2 #include <stdio.h>
3 #include <cstring>
4 using namespace std;
5
6 int n,k,mod;
7 typedef long long ll;
8 struct matrix{
9 int row,col,ele[32][32];
10 matrix(){};
11 matrix(int row,int col):row(row),col(col){
12 memset(ele,0,sizeof(ele));
13 }
14 void init(){
15 row=col=n;memset(ele,0,sizeof(ele));
16 for(int i=0;i<n;++i) ele[i][i]=1;
17 }
18 void clear(){
19 row=col=n;
20 memset(ele,0,sizeof(ele));
21 }
22 matrix operator *(const matrix& rhs){
23 if(col!=rhs.row) printf("Exception...\n");
24 matrix c=matrix(row,rhs.col);
25 for(int i=0;i<row;i++)
26 for(int k=0;k<col;++k)
27 for(int j=0;j<rhs.col;++j)
28 c.ele[i][j]=(c.ele[i][j]+ele[i][k]*rhs.ele[k][j])%mod;
29 return c;
30 }
31 matrix operator +(const matrix &rhs){
32 if(row!=rhs.row||col!=rhs.col) printf("+ Exception\n");
33 matrix c=matrix(row,col);
34 for(int i=0;i<row;++i)
35 for(int j=0;j<col;++j)
36 c.ele[i][j]=(c.ele[i][j]+ele[i][j]+rhs.ele[i][j])%mod;
37 return c;
38 }
39 void print(){
40 for(int i=0;i<row;++i){
41 for(int j=0;j<col;++j)
42 printf("%d ",ele[i][j]);
43 printf("\n");
44 }
45 }
46 };
47 struct bigMatrix{
48 int row,col;matrix ele[5][5];
49 bigMatrix(){};
50 bigMatrix(int row,int col):row(row),col(col){
51 for(int i=0;i<row;++i)
52 for(int j=0;j<col;++j) ele[i][j].clear();
53 }
54 void init(){
55 row=col=2;
56 for(int i=0;i<row;++i)
57 for(int j=0;j<col;++j) ele[i][j].clear();
58 for(int i=0;i<row;++i) ele[i][i].init();
59 }
60 bigMatrix operator *(const bigMatrix& rhs){
61 if(col!=rhs.row) printf("Exception...\n");
62 bigMatrix c=bigMatrix(row,rhs.col);
63 for(int i=0;i<row;i++)
64 for(int k=0;k<col;++k)
65 for(int j=0;j<rhs.col;++j)
66 c.ele[i][j]=(c.ele[i][j]+ele[i][k]*rhs.ele[k][j]);
67 return c;
68 }
69 };
70 bigMatrix fastpow(bigMatrix a,ll b){
71 bigMatrix ans;ans.init();
72 // printf("%d %d %d %d\n",a.row,a.col,ans.row,ans.col);
73 if(b==0) return ans;
74 while(b){
75 if(b&1) ans=ans*a;
76 a=a*a;
77 b>>=1;
78 }
79 return ans;
80 }
81 int main(){
82 while(~scanf("%d%d%d",&n,&k,&mod)){
83 matrix A=matrix(n,n);
84 for(int i=0;i<n;++i){
85 for(int j=0;j<n;++j){
86 scanf("%d",&A.ele[i][j]);
87 A.ele[i][j]%=mod;
88 }
89 }
90 bigMatrix mat=bigMatrix(2,2);
91 matrix t=matrix(n,n);t.init();
92 mat.ele[0][0]=A;mat.ele[0][1]=matrix(n,n);
93 mat.ele[1][0]=t;mat.ele[1][1]=t;
94 bigMatrix d=fastpow(mat,k+1);
95 matrix B=d.ele[1][0];
96 for(int i=0;i<n;++i) B.ele[i][i]=(B.ele[i][i]-1+mod)%mod;
97 for(int i=0;i<n;++i){
98 printf("%d",B.ele[i][0]);
99 for(int j=1;j<n;++j){
100 printf(" %d",B.ele[i][j]);
101 }
102 printf("\n");
103 }
104 }
105 return 0;
106 }

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