BZOJ.2460.[BeiJing2011]元素(线性基 贪心)

题目链接

线性基：https://blog.csdn.net/qq_36056315/article/details/79819714。

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\(Description\)

求一组矿石，满足其下标异或和不为0，且价值和最大。

\(Solution\)

按价值从大到小依次插入线性基，这样最后得到的集合就是价值和最大的了。

贪心策略简单证明（参考：https://www.cnblogs.com/acmsong/p/7508022.html）：

假设当前选取的集合\(S\)价值为\(\{v1,v2,...,vn\}\)，标号为\(\{id1,id2,...,idn\}\)。所有物品中价值最大的为\(vMax\)（\(idMax\)），且当前集合中不包含\(vMax\).

那么\(vMax\)一定可以替换掉\(S\)中的某个元素，使得价值和更大。

如果不能直接插入\(vMax\)，说明\(S∪\{1\}\)变得线性相关了，即\(S\)中一定存在一个子集，其下标的\(Xor\)和等于\(idMax\)。

即$$ id[x1]^{{\wedge}id[x2]}{\wedge}...^{\wedge}id[xn]=id[Max] $$

然后\(id[Max]\)可以把任意一个元素替换掉，假设是\(x1\)，那么两边同时异或\(id[Max]^{\wedge}id[x1]\)：$$ id[Max]^{{\wedge}id[x2]}{\wedge}...^{\wedge}id[xn]=id[x1] $$

这样就可以把\(id[x1]\)线性表示出来。而\(S\)中如果不加\(id[x1]\)的话是一定表示不出\(id[x1]\)的，因为\(S\)中异或和不为\(0\)（左边异或掉\(id[x1]\)是不等于\(id[x1]\)的）。

所以替换后的线性基和之前是等价的。

用拟阵能证，但是找不到啥详细的证明，我也没拿它证过啥别东西。。

写x&(1ll<<i)的话别忘了1ll...

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#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
typedef long long LL;
const int N=1005;

LL base[69];
struct Node{
	LL id; int val;
	bool operator <(const Node &x)const{
		return val>x.val;
	}
}A[N];

inline LL read()
{
	LL now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}

int main()
{
	int n=read();
	for(int i=1; i<=n; ++i) A[i].id=read(), A[i].val=read();
	std::sort(A+1,A+1+n);
	int ans=0;
	for(int i=1; i<=n; ++i)
	{
		LL now=A[i].id;
		for(int j=60; ~j; --j)
			if(now&(1ll<<j))
				if(base[j]) now^=base[j];
				else {base[j]=now; break;}
		if(now) ans+=A[i].val;
	}
	printf("%d\n",ans);

	return 0;
}