给每一个人一个随机数$R_{i}$,将一个消息中所有人的的$R_{i}$在三进制下相加(多次出现需要多个$R_{i}$),最终之和若为0,即判定答案为-1,若为某个$R_{i}$或$R_{i}+R_{i}$(三进制下),则为$i$,否则为-2

显然这一做法是随机的,但其每一次失败都意味者结果为0,但存在若干个$R_{i}$出现次数不为3的倍数,且其之和恰为0(关于结果是$R_{i}$或$R_{i}+R_{i}$可以看作减去$R_{i}$或$R_{i}+R_{i}$)

注意到$R_{i}$是随机的,因此若干个$R_{i}$之和也是随机的,为0的概率恰为$\frac{1}{V}$(其中$V$为值域,应为3的幂次)

但事实上,这里还有两个问题:

1.如何快速判定是否为$R_{i}$或$R_{i}+R_{i}$,由于有$o(n)$个值,且空间仅有128MB,哈希范围仅能为$10^{7}$,因此需要在哈希的基础上,每一个位置再开一个vector(此时哈希范围仅能为$10^{6}$)

2.三进制下暴力计算是$\log_{3}V$的,选择$V=3^{35}$,并预处理出$3^{7}$以内任意两数加法,那么单次加法的复杂度降为$o(5)$(这些都只是常数优化,实际理论复杂度还是$o(\log_{3}V)$)

 1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 #define N 1000005
4 #define K 2187
5 #define mod 1000003
6 #define ll long long
7 vector<int>mat[mod];
8 int n,m,x,y,ans,init[K][K];
9 ll R[N],dep[N<<1];
10 int read(){
11 int x=0,flag=0;
12 char c=getchar();
13 while ((c<'0')||(c>'9')){
14 if (c=='-')flag=1;
15 c=getchar();
16 }
17 while ((c>='0')&&(c<='9')){
18 x=x*10+c-'0';
19 c=getchar();
20 }
21 if (flag)x=-x;
22 return x;
23 }
24 void write(int x){
25 if (x<0){
26 putchar('-');
27 x=-x;
28 }
29 int num[11];
30 num[0]=0;
31 while (x){
32 num[++num[0]]=x%10;
33 x/=10;
34 }
35 if (!num[0])putchar('0');
36 for(int i=num[0];i;i--)putchar(num[i]+'0');
37 putchar('\n');
38 }
39 int add_low(int x,int y){
40 int s=1,ans=0;
41 for(int i=0;i<7;i++){
42 ans=ans+(x+y)%3*s;
43 s*=3,x/=3,y/=3;
44 }
45 return ans;
46 }
47 ll add_high(ll x,ll y){
48 ll s=1,ans=0;
49 for(int i=0;i<5;i++){
50 ans=ans+init[x%K][y%K]*s;
51 s*=K,x/=K,y/=K;
52 }
53 return ans;
54 }
55 int main(){
56 srand(time(0));
57 for(int i=0;i<K;i++)
58 for(int j=0;j<K;j++)init[i][j]=add_low(i,j);
59 n=read(),m=read();
60 for(int i=1;i<=n;i++){
61 for(int j=0;j<35;j++)R[i]=R[i]*3+rand()%3;
62 mat[R[i]%mod].push_back(i);
63 mat[add_high(R[i],R[i])%mod].push_back(i);
64 }
65 for(int i=1;i<=m;i++){
66 x=read(),y=read();
67 x^=ans,y^=ans;
68 dep[i]=add_high(dep[y],R[x]);
69 if (!dep[i])ans=-1;
70 else{
71 ans=-2;
72 for(int j=0;j<mat[dep[i]%mod].size();j++){
73 ll x=R[mat[dep[i]%mod][j]];
74 if ((x==dep[i])||(add_high(x,x)==dep[i])){
75 ans=mat[dep[i]%mod][j];
76 break;
77 }
78 }
79 }
80 write(ans);
81 }
82 return 0;
83 }

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