343.Integer Break---dp

题目链接：https://leetcode.com/problems/integer-break/description/

题目大意：给定一个自然数，将其分解，对其分解的数作乘积，找出最大的乘积结果。例子如下：

法一（借鉴）：dp，一维dp，dp[i]表示i的最大分解结果的乘积，而dp[5]可以dp[4],dp[3],dp[2],dp[1]为基础，dp[4]可以dp[3],dp[2],dp[1]为基础，代码如下（耗时1ms）：

     //dp[i]表示给定i分解后能得到的最大乘积值
     public int integerBreak(int n) {
         int dp[] = new int[n + 1];
         dp[1] = 1;
         dp[2] = 1;
         for(int i = 3; i <= n; i++) {
             for(int j = 1; j <= i / 2; j++) {
                 //max里面要加上dp[i]，因为里层for循环会不断更新dp[i]，否则dp[i]得到就是最后一次的计算结果，而取不到最大值
                 //后面Math.max(j, dp[j]) * Math.max(i - j, dp[i - j])，因为j+(i-j)=i，所以计算j和i-j的乘积，是正常的，只不过这里可以用到先前已经算过的dp[j]和dp[i-j]，因为dp[j]的结果就是j的最大分解结果，那么也可以是i的分解结果
                 dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j, dp[j]) * Math.max(i - j, dp[i - j]));
             }
         }
         return dp[n];
     }

法二（借鉴）：数学方法，数学原理：https://leetcode.com/problems/integer-break/discuss/80721/Why-factor-2-or-3-The-math-behind-this-problem.，由数学知，一个整数分解，当分解成相同的数时，乘积最大，而由于给定的自然数不一定都能分解成相同的数，所以又由数学知，求导办法见https://www.cnblogs.com/zywscq/p/5415303.html，当分解得到的数越靠近e，得到的乘积值越大，那么也就是能取3则取3，不能则取2。而又如6=2+2+2=3+3，又2*2*2<3*3，所以当能分解成3个2时，应该换算成2个3，所以下面与3求余，然后分情况分解。代码如下（耗时0）：

     public int integerBreak(int n) {
         if(n == 2) {
             return 1;
         }
         else if(n == 3) {
             return 2;
         }
         else if(n == 1) {
             return 1;
         }
         else if(n % 3 == 0) {
             return (int)Math.pow(3, n / 3);
         }
         else if(n % 3 == 1) {
             return 2 * 2 * (int)Math.pow(3, (n - 4) / 3);
         }
         else {
             return 2 * (int)Math.pow(3, (n - 2) / 3);
         }
     }