UPC Contest RankList – 2019年第二阶段我要变强个人训练赛第十六场

　　E: 飞碟解除器

•题目描述

wjyyy在玩跑跑卡丁车的时候，获得了一个飞碟解除器，这样他就可以免受飞碟的减速干扰了。
飞碟解除器每秒末都会攻击一次飞碟，但每次只有p/q的概率成功攻击飞碟。当飞碟被成功攻击时，减速状态解除。
如果攻击失败，飞碟会使wjyyy的平均速度变为前一秒的1/k倍。
wjyyy一开始以v m/s的速度行驶，问在减速状态解除时，他期望的行驶距离对998244353取模的结果。

输入

输入共一行，共4个非负整数k,p,q,v。其中gcd(p,q)=1。

输出

输出共一行，表示wjyyy的期望行走距离对998244353取模的结果。

样例输入

2 2 3 9

样例输出

119789331

提示

对于100%的数据，gcd(p,q)=1,1≤k≤998244352,1≤p≤q≤998244352,0≤v≤998244352

提示wjyyy在第一秒走过的距离是v m，如果他此时没有攻击成功，则在第二秒后走过的距离是2×v/k m。
以此类推。

•思路

假设在每秒末飞碟解除

总距离相加得

显而易见(大雾)是一个差比数列前n项和

然后我们就开始高三数学每套试卷都有的错位相减

由于n是趋近于正无穷的所有最后一项的极限为0

所以Sn的极限与等比数列前n项和有关

所以Sn极限为

•代码

　　F: gu集合

•题目描述

Dew有一个长为n的集合S。有一天，他想选k个不同的元素出来做游戏。
但是Dew只有两只手，所以他只能先选出k个元素，然后拿出这k个元素中最小的两个。
事实上，Dew更喜欢这k个元素中第二小的那个，因此他会记一个集合T的第二小值为g(T)。此时Dew可以获得c^g(T)!的得分，其中c是一个常数，!表示阶乘。
现在你需要求出Dew从集合S中选出k个元素后，他的期望得分对998244353取模的结果。

输入

输入共两行。
第一行三个正整数n,k,c，分别表示集合S的大小，Dew要选的元素个数，和常数c。
第二行n个互不相同的正整数ai，表示集合S中的元素。保证。

输出

输出一行一个非负整数，表示 Dew 的期望得分对998244353取模的结果。

样例输入

5 3 2
1 2 3 4 5

样例输出

803628674

 

•思路

有n个数a1,a2,a3,a4,....(升序排列)，从中选出k个，

总的情况数是C(n,k)种，

其中a2是第二小数的有C(n-2,k-2)个，a2是第二小，肯定得选a1,a2，再从剩下的(n-2)个里选出(k-2)个

其中a3是第二小数的有2*C(n-3,k-2)个,a3是第二小，肯定得选且只能选a1,a2中的一个即两种情况，再从剩下的(n-3)个里选出(k-2)个

其中a4是第二小数的有3*C(n-4,k-2)个,a4是第二小，肯定得选且只能选a1,a2,a3中的一个即三种情况，再从剩下的(n-4)个里选出(k-2)个

...

得到选每个数的情况是

所以被选择的期望然后再乘以阶乘，最终结果为

•细节处理

除法取模：

指数取模：

•代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define mod 998244353
const int maxn=5e5+;
const int maxnn=1e7+;
ll fac[maxn];
ll facc[maxnn];
ll a[maxn];

ll quickMod(ll x,ll y)
{
    ll res=;
    x=x%mod;
    while(y)
    {
        if(y&)
            res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;
        y>>=;
    }
    return res%mod;
}

ll getfac()
{
    fac[]=;
    for(int i=;i<5e5+;i++)
        fac[i]=fac[i-]*i%mod;
}

ll getfacc()
{
    facc[]=;
    for(int i=;i<1e7+;i++)
        facc[i]=facc[i-]*i%(mod-);
}

int main()
{
    int n,k,c;
    cin>>n>>k>>c;
    getfac();
    getfacc();
    for(int i=;i<=n;i++)
        cin>>a[i];
    ll ans=;
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        if(n-i<k-)//防止组合数越界
            break;
        ans=(ans%mod+(i-)*fac[n-i]%mod*fac[n-k]%mod*fac[k]%mod*quickMod(fac[n-i-k+]*fac[k-]%mod*fac[n]%mod,mod-)%mod*quickMod(c,facc[a[i]])%mod)%mod;;
    }
    cout<<ans<<endl;
}