【刷题】BZOJ 3512 DZY Loves Math IV

Description

给定n,m，求 模10^9+7的值。

Input

仅一行，两个整数n,m。

Output

仅一行答案。

Sample Input

100000 1000000000

Sample Output

857275582

数据规模：

1<=n<=10^5，1<=m<=109，本题共4组数据。

Solution

这题还真是要一点函数基础

设 \(S(n,m)=\sum_{i=1}^m\varphi(in)\) ，所以答案就是 \(\sum_{i=1}^nS(i,m)\)

对于一个 \(S(n,m)\) ，寻找它的性质，发现：

• 当 \(\mu(n)=0\) 时，\(S(n,m)=\prod_ip_i^{a_i-1}S(\prod_ip_i,m)\)
• 当 \(|\mu(n)|=1\) 时，\(S(n,m)=\sum_{d|n}\varphi(\frac{n}{d})S(d,\lfloor\frac{m}{d}\rfloor)\)

第一个性质很显然吧，类似于线性筛嘛，如果 \(i\%j==0\) ，\(\varphi(ij)=j\times\varphi(i)\)

第二个性质证明如下：

我们试着找出 \(\varphi(in)\) 的式子

设 \(gcd(i,n)=x\) ，同时，\(n=x \times y\) ，由于 \(|\mu(n)|=1\) ，所以 \(gcd(x,y)=1\)

那么，\(\varphi(in)=x\times\varphi(y)\varphi(i)\) ，将 \(x\) 拆成 \(\varphi*1\) 的卷积，那么，\(\varphi(in)=\varphi(i)\sum_{d|x}\varphi(d)\varphi(y)=\varphi(i)\sum_{d|x}\varphi(\frac{x}{d})\varphi(y)\)

因为 \(gcd(x,y)=1\) ，再把 \(\sum\) 外面的 \(\varphi(y)\) 乘进去，变成 \(\varphi(i)\sum_{d|x}\varphi(\frac{xy}{d})\) ，即 \(\varphi(i)\sum_{d|n,d|i}\varphi(\frac{n}{d})\)

那么 \(S(n,m)=\sum_{i=1}^n\varphi(in)=\sum_{i=1}^n\varphi(i)\sum_{d|n,d|i}\varphi(\frac{n}{d})\)

转换枚举方式，枚举 \(n\) 的约数，\(\sum_{d|n}\varphi(\frac{n}{d})\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\varphi(id)=\sum_{d|n}\varphi(\frac{n}{d})S(d,\lfloor\frac{m}{d}\rfloor)\)

知道了这两个性质，便直接递归求解就好了

当 \(n=1\) 的时候，用杜教筛求解

复杂度的话我不会求啊，大概是 \(S(n,m)\) 式子中 \(n\) 的取值有 \(O(n)\) 种，\(m\) 的取值有 \(O(\sqrt{m})\) 种，杜教筛 \(O(m^{\frac{3}{4}})\) ，\(d\) 的取值 \(O(\sqrt{n})\)

然后最后复杂度是 \(O(n(\sqrt{n}+\sqrt{m})+m^{\frac{3}{4}})\)

然后 \(n\sqrt{m}\) 跑不满之类的，就可以过了

#include<bits/stdc++.h>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
#define ull unsigned long long
const int MAXN=200000+10,Mod=1e9+7;
int cnt,vis[MAXN],prime[MAXN],mu[MAXN],phi[MAXN],s[MAXN],lst[MAXN];
ll ans;
std::vector<int> V[MAXN];
std::map< std::pair<int,int>,int > M;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
	T data=0,w=1;
	char ch=0;
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
	x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char ch='\0')
{
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
	if(ch!='\0')putchar(ch);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline void init()
{
	memset(vis,1,sizeof(vis));
	vis[0]=vis[1]=0;
	phi[1]=mu[1]=lst[1]=1;
	for(register int i=2;i<MAXN;++i)
	{
		if(vis[i])
		{
			prime[++cnt]=i;
			mu[i]=-1,phi[i]=i-1,lst[i]=i;
		}
		for(register int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<MAXN;++j)
		{
			vis[i*prime[j]]=0;
			if(i%prime[j])
			{
				mu[i*prime[j]]=-mu[i];
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
				lst[i*prime[j]]=lst[i]*lst[prime[j]];
			}
			else
			{
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				lst[i*prime[j]]=lst[i];
				break;
			}
		}
	}
	for(register int i=1;i<MAXN;++i)
	{
		s[i]=(s[i-1]+phi[i])%Mod;
		for(register int j=1;i*j<MAXN;++j)V[i*j].push_back(i);
	}
}
inline ll P(int n)
{
	if(n<MAXN)return s[n];
	std::pair<int,int> pr=std::make_pair(1,n);
	if(M.find(pr)!=M.end())return M[pr];
	ll res=0;
	for(register int i=2;;)
	{
		if(i>n)break;
		int j=n/(n/i);
		(res+=1ll*(j-i+1)*P(n/i)%Mod)%=Mod;
		i=j+1;
	}
	return M[pr]=((1ll*(1+n)*n/2)%Mod-res+Mod)%Mod;
}
inline ll S(int n,int m)
{
	std::pair<int,int> pr=std::make_pair(n,m);
	if(n==1)return P(m);
	if(m==0)return 0;
	if(M.find(pr)!=M.end())return M[pr];
	if(mu[n]==0)return M[pr]=1ll*(n/lst[n])*S(lst[n],m)%Mod;
	ll res=0;
	for(register int i=0,lt=V[n].size();i<lt;++i)(res+=1ll*phi[n/V[n][i]]*S(V[n][i],m/V[n][i])%Mod)%=Mod;
	return M[pr]=res;
}
int main()
{
	int n,m;read(n);read(m);init();
	for(register int i=1;i<=n;++i)(ans+=S(i,m))%=Mod;
	write(ans,'\n');
	return 0;
}