[HNOI2011]卡农 （数论计数，DP）

题面

原题面

众所周知卡农是一种复调音乐的写作技法，小余在听卡农音乐时灵感大发，发明了一种新的音乐谱写规则。

他将声音分成

n

n

n 个音阶，并将音乐分成若干个片段。音乐的每个片段都是由

1

1

1 到

n

n

n 个音阶构成的和声，即从

n

n

n 个音阶中挑选若干个音阶同时演奏出来。

为了强调与卡农的不同，他规定任意两个片段所包含的音阶集合都不同。同时为了保持音乐的规律性，他还规定在一段音乐中每个音阶被奏响的次数为偶数。（注：“一段音乐”指整个曲子）

现在的问题是：小余想知道包含

m

m

m 个片段的音乐一共有多少种。
两段音乐

a

a

a 和

b

b

b 同种当且仅当将

a

a

a 的片段重新排列后可以得到

b

b

b。例如：假设

a

a

a 为

{

{

1

,

2

}

,

{

2

,

3

}

}

\{\{1,2\},\{2,3\}\}

{{1,2},{2,3}}，

b

b

b 为

{

{

2

,

3

}

,

{

1

,

2

}

}

\{\{2,3\},\{1,2\}\}

{{2,3},{1,2}}，那么

a

a

a 与

b

b

b 就是同种音乐。

答案对

1

0

8

+

7

10^8+7

108+7 取模。

输入格式

仅一行两个正整数

n

,

m

n,m

n,m 。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

输入输出样例

输入 #1

2 3

输出 #1

1

说明/提示

【数据范围】
对于

20

%

20\%

20% 的数据，

1

≤

n

,

m

≤

5

1\le n,m \le 5

1≤n,m≤5；
对于

50

%

50\%

50% 的数据，

1

≤

n

,

m

≤

3000

1\le n,m \le 3000

1≤n,m≤3000；
对于

100

%

100\%

100% 的数据，

1

≤

n

,

m

≤

1

0

6

1\le n,m \le 10^6

1≤n,m≤106 。

【样例解释】
音乐为

{

{

1

}

,

{

2

}

,

{

1

,

2

}

}

\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}

{{1},{2},{1,2}} 。

题解

往容斥上面想，但是别想多了。

看了别人的题解发现其实并不难。

首先应该清楚，由于每个片段不相同，所以题目中关于 “同种音乐” 的限制可以去除掉，最后再乘上

(

m

!

)

−

1

(m!)^{-1}

(m!)−1 就是了。

然后，结合 DP 来容斥，我们相当于要达到三个条件：

• 每一种音阶出现次数是偶数。
• 无空集。
• 不存在两片段相同。

我们令

d

p

[

i

]

\mathrm{dp}[i]

dp[i] 表示前

i

i

i 个片段满足上述条件的方案数。

按照容斥的思路，我们应该先把全集求出来，再依次减去不合法。但是很容易发现，要把不符合第一个条件的去掉极其困难。

我们其实可以先求出只满足第一条的方案总数。有一个发现：如果随意确定了前

i

−

1

i-1

i−1 个片段，那么为了满足第一个条件，可以直接据此推出第

i

i

i 个片段。那么我们就可以定这个方案数为：

A

2

n

−

1

i

−

1

A_{2^n-1}^{i-1}

A2n−1i−1​ ，意为确定前

i

−

1

i-1

i−1 个片段。这样做还有一个好处，那就是单独看前

i

−

1

i-1

i−1 个片段时，都是满足第二条和第三条限制的。

这就给我们的容斥带来了极大的便利。去除空集情况，达到第二条限制，很简单，如果有空集就一定是第

i

i

i 个片段空集，那么前

i

−

1

i-1

i−1 个片段就满足了三个条件，因此有空集的不合法情况数为

d

p

[

i

−

1

]

\mathrm{dp}[i-1]

dp[i−1] 。

接下来要去除存在片段相同的情况。由于前

i

−

1

i-1

i−1 个片段没有彼此相同的，因此只能是第

i

i

i 个片段与前面的片段相同，我们就令其为第

j

j

j 个片段。我们在

1

1

1 到

i

−

1

i-1

i−1 中枚举

j

j

j ，一共

i

−

1

i-1

i−1 种情况，再确定

i

i

i 和

j

j

j 具体应该为哪一种组合，由于

j

j

j 在前面

i

−

1

i-1

i−1 个片段中是独一无二的，所以一共有

2

n

−

1

−

(

i

−

2

)

=

2

n

−

i

+

1

2^n-1-(i-2)=2^n-i+1

2n−1−(i−2)=2n−i+1 种选择。

然后把

i

i

i 和

j

j

j 同时拿走，剩下的

i

−

2

i-2

i−2 个位置同时满足三个条件，故片段相同的不合法情况数为

d

p

[

i

−

2

]

∗

(

i

−

1

)

∗

(

2

n

−

i

+

1

)

{\rm dp}[i-2]*(i-1)*(2^n-i+1)

dp[i−2]∗(i−1)∗(2n−i+1) 。

综上，总的转移方程为：

d

p

[

i

]

=

A

2

n

−

1

i

−

1

−

d

p

[

i

−

1

]

−

d

p

[

i

−

2

]

∗

(

i

−

1

)

∗

(

2

n

−

i

+

1

)

{\rm dp}[i]=A_{2^n-1}^{i-1}-{\rm dp}[i-1]-{\rm dp}[i-2]*(i-1)*(2^n-i+1)

dp[i]=A2n−1i−1​−dp[i−1]−dp[i−2]∗(i−1)∗(2n−i+1) 。时间复杂度

O

(

n

)

O(n)

O(n) 。

关于排列数

A

2

n

−

1

i

−

1

A_{2^n-1}^{i-1}

A2n−1i−1​ 的计算，它其实就是最多

m

−

1

m-1

m−1 个数相乘。

CODE

#include<map>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 1000005
#define ENDL putchar('\n')
#define LL long long
#define DB double
#define lowbit(x) ((-x) & (x))
LL read() {
	LL f = 1,x = 0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f * x;
}
void putuint(int x) {
	if(!x) return ;
	putuint(x/10);putchar(x%10+'0');
}
void putint(int x) {if(x==0)putchar('0');if(x<0)putchar('-'),x=-x;putuint(x);}

const int MOD = 100000007;
int n,m,i,j,s,o,k;
int qkpow(int a,int b) {
	int res = 1;
	while(b > 0) {
		if(b & 1) res = res *1ll* a % MOD;
		a = a *1ll* a % MOD; b >>= 1;
	}return res;
}
int fac[MAXN]={1,1},inv[MAXN]={1,1},invf[MAXN]={1,1};
int dp[MAXN];
int main() {
	n = read();m = read();
	for(int i = 2;i <= n||i <= m;i ++) {
		fac[i] = fac[i-1] *1ll* i % MOD;
		inv[i] = (MOD-inv[MOD%i]) *1ll* (MOD/i) % MOD;
		invf[i] = invf[i-1] *1ll* inv[i] % MOD;
	}
	dp[0] = 1;dp[1] = 0;
	int po = qkpow(2,n)-1,A = 1,ful = po;
	for(int i = 2;i <= m;i ++) {
		A = A *1ll* po % MOD;
		(po += MOD-1) %= MOD;
		dp[i] = (0ll+ A +MOD- dp[i-1] +MOD- dp[i-2] *1ll* (i-1) % MOD *1ll* (ful +MOD- (i-2)) % MOD) % MOD;
	}
	int as = dp[m] *1ll* invf[m] % MOD;
	printf("%d\n",as);
	return 0;
}