图论&数学：矩阵树定理

运用矩阵树定理进行生成树计数

给定一个n个点m条边的无向图，问生成树有多少种可能

直接套用矩阵树定理计算即可

矩阵树定理的描述如下：

首先读入无向图的邻接矩阵，u-v G[u][v]++ G[v][u]++

度数矩阵： u-v D[u][u]++ D[v][v]++;

然后计算图G的基尔霍夫矩阵 C=D-G

接着去掉基尔霍夫矩阵的第i行和第i列（必须都是i,i取任意值）

计算剩下的子矩阵的行列式的值得绝对值即为生成树个数

然后对于有向图来说：

边 u->v G[u][v]++ 然后是D[v][v]++（有向图的度数矩阵指的是入度而不是出度）

这样根据上述步骤计算得来的是树形图的个数

在计算行列式的时候：

先用高斯消元消成上三角矩阵，再把对角线乘起来

（与乘法逆元相关的以后再展开）

下面介绍实现：

const int maxn=;
int A[maxn][maxn],B[maxn][maxn];
double a[maxn][maxn];
int T,n,m;

B是邻接矩阵，A是度数矩阵

a是基尔霍夫矩阵

我们在读入了n之后n--的目的是直接排除最后一行和最后一列将其变成余子式（是叫这个嘛？？）

然后是计算行列式：

void gauss()
{
    int now=;
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        int j=now;
        while(fabs(a[j][now])<eps&&j<=n) j++;
        if(j==n+) {puts("");return;}
        for(int k=;k<=n;k++) swap(a[now][k],a[j][k]);
        for(int j=now+;j<=n;j++)
        {
            double t=a[j][now]/a[now][now];
            for(int k=;k<=n;k++)
                a[j][k]-=t*a[now][k];
        }
        now++;
    }
    double ans=;
    if(n&) ans=-ans;
    for(int i=;i<=n;i++) ans*=a[i][i];
    printf("%.0lf\n",abs(ans));
}

这里的高斯消元是消成上三角矩阵，然后就方便计算det了

完整的实现如下：

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 #define eps 1e-8
 using namespace std;
 const int maxn=;
 int A[maxn][maxn],B[maxn][maxn];
 double a[maxn][maxn];
 int T,n,m;
 int read()
 {
     int x=,f=;char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>'') {if(ch=='-')f=-; ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<='') {x=x*+ch-'';ch=getchar();}
     return x*f;
 }
 void gauss()
 {
     int now=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         int j=now;
         while(fabs(a[j][now])<eps&&j<=n) j++;
         if(j==n+) {puts("");return;}
         for(int k=;k<=n;k++) swap(a[now][k],a[j][k]);
         for(int j=now+;j<=n;j++)
         {
             double t=a[j][now]/a[now][now];
             for(int k=;k<=n;k++)
                 a[j][k]-=t*a[now][k];
         }
         now++;
     }
     double ans=;
     if(n&) ans=-ans;
     for(int i=;i<=n;i++) ans*=a[i][i];
     printf("%.0lf\n",abs(ans));
 }
 int main()
 {
     T=read();
     while(T--)
     {
         memset(A,,sizeof(A));
         memset(B,,sizeof(B));
         n=read();m=read();
         n--;
         for(int i=;i<=m;i++)
         {
             int u=read(),v=read();
             u--;v--;
             A[u][u]++;A[v][v]++;
             B[u][v]++;B[v][u]++;
         }
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             for(int j=;j<=n;j++)
                 a[i][j]=A[i][j]-B[i][j];
         }
         gauss();
     }
     return ;
 }