【基础算法-树状数组】入门-C++

基本定义
如何理解树状数组
主要操作
- 代码实现

基本定义

树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值;经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。

如何理解树状数组

树状数组，重点在于它是树状的（这不废话吗）

大家都知道二叉树吧，贴一张二叉树的图给大家理解一下（自己画的有点丑）

我们把它变形一下...

现在定义每一列的顶端结点C[]数组

ps.最后一个图不是我画的

C[i]代表子树的叶子结点的权值之和，这里以求和举例

如图可以知道

C[1]=A[1];

C[2]=A[1]+A[2];

C[3]=A[3];

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

C[5]=A[5];

C[6]=A[5]+A[6];

C[7]=A[7];

C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

这就是树状数组的基本组成。

将C[]数组的结点序号转化为二进制

1=(001) C[1]=A[1];

2=(010) C[2]=A[1]+A[2];

3=(011) C[3]=A[3];

4=(100) C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

5=(101) C[5]=A[5];

6=(110) C[6]=A[5]+A[6];

7=(111) C[7]=A[7];

8=(1000) C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

对照式子可以发现 C[i]=A[i-2^ k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];

（k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度）例如i=8时，k=3;

可以自行带入验证;

现在引入lowbit(x)

lowbit(x) 其实就是取出x的最低位1 换言之 lowbit(x)=2^k k的含义与上面相同理解一下

主要操作

添加元素

单点修改

单点查询

区间修改

区间查询

前两个普通数组能够O(1)时间复杂度完成，后两个普通数组需要O(n)时间复杂度完成，而树状数组最大只需要O(logn)，这也正是树状数组的快捷之处。

代码实现

0.lowbit操作

int lowbit(int k)

{

	return k&-k;

}

不懂的看下上面引用的那一段

1.添加元素

void add(int s,int num)

{

	for(long long i=s;i<=n;i+=lowbit(i))

		tree[i]+=num;

	return;

}

添加元素的操作可能有些不好理解，但同上，只要理解了lowbit操作，基本就能看懂这个添加操作了...

2.单点修改

这个操作普通数组只要O(1)的时间复杂度，但是树状数组需要最高 O(logn)的时间，因为在树状数组中数组中的一些元素是有联系的，修改其中一个就需要牵扯到很多...

void add(int x,int k)

{

    while(x<=n)

    {

        tree[x]+=k;

        x+=lowbit(x);

    }

}

3.单点查询

依然，普通数组O(1)，树状数组最高O(logn)

long long ask(long long s)

{

    long long ans=0;

    for(long long i=s;i>=1;i-=lowbit(i))

		ans+=tree[i];

    return ans;

}

4.区间修改

这个操作就是树状数组的强项之一了，普通数组O(n)，树状数组也是不到O(logn)跑出来

void add(int s,int num)

{

	for(long long i=s;i<=n;i+=lowbit(i))

		tree[i]+=num;

}

p.s.把[x,y]区间的数加上s，需要add(x,s);add(y+1,-s);

5.区间查询

这依然是树状数组的强项，时间复杂度同4

int sum(int x)

{

    int ans=0;

    while(x!=0)

    {

        ans+=tree[x];

        x-=lowbit(x);

    }

    return ans;

}

树状数组模板题：

①只需要树状数组基本知识

②需要用到差分

ov.