ZOJ3175【公式化函数的思想】

题意：

 给出f(n,m)(m<n)的定义：大于m并且小于n的能整除m的数的个数。

F（n）为m从1至n的f(n,m)的和。

给出n，求F(n)。

思路：

就是计算n/1 +  n/2 + n/3 + ... +n/n - n的值；

然后算那个分式的和的话不能O(N)，发现n不变，就随手画了个n/x的函数，如下图是y=10/x的函数图；

我们发现这个函数图像是和y=x对称的，这个是其次，然后顺着这个感觉，可以发现，我们从1枚举到sqrt(n)，在1的时候10/1=10，在2的时候10/2=5，我们可以很显然的得知，在对应y的区间 (5,10] 对于10/x来说的答案都是1，然后在3的时候10/3=3，我们又能发现y的范围在区间(3,5]上的答案都是2。对于n=10这个情况，在枚举 [1 , sqrt(n)] 每次加上n/i，并且加上对应之前 ( n/(i-1) , n/i ] 的答案都是i-1 ，这样我们对于10这样正好处理了1到n所有的数。

但是如果是20的话，sqrt(20)=4，这样简单加到了4，我们发现我们对于区间的处理都是前闭后开，所以在i=4时，没有处理n/i=5的情况，所以最后还要把 (sqrt(n) , n/sqrt(n)] 这个区间里的答案都加上；然而爆long long wa了一发；

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        LL n;
        scanf("%lld",&n);
        LL sum=0;
        LL q=sqrt(n);
        sum=n;
        for(LL i=2;i<=q;i++)
        {
            sum=sum+n/i;
            sum=sum+(i-1)*(n/(i-1)-n/i);
        }
        if(n/q>q)
        {
            sum=sum+q*(n/q-n/(q+1));
        }
        printf("%lld\n",sum-n);
    }
    return 0;
}