POJ 1037 (计数 + DP) 一个美妙的栅栏

这道题总算勉勉强强看懂了，DP和计数都很不好想

DP部分：

称i根木棒的合法方案集合为S(i)，第二根木棒比第一根长的方案称作UP方案，反之叫做DOWN方案

C[i][k][DOWN] 是S(i)中以第k短(而不是长度为k)的木棒打头的DOWN方案数。

假设S(i)中第一根木棒长为x，那么构成合法的方案数有两类：

1. S(i - 1)中第一根木棒比x长的DOWN方案
2. S(i - 1)中第一根木棒比x短的UP方案

有如下递推关系：

C[i][k][UP] = ∑ C[i-1][M][DOWN]
M = k ... i -1
C[i][k][DOWN] = ∑ C[i-1][N][UP]
N = 1… k-1

举个例子：

比如四根木棒，假设第一根木棒长度为2，在剩下的1 3 4中，比2长的3和4分别是S(3)中第2和第3短的。(要和C所定义的状态相对应)

所以上式的M和N的范围就是这样的

总的方案数就是：Sum{ C[n][k][DOWN] + C[n][k][UP] } k = 1.. n

计数部分：

扔掉这个题，考虑一下这个问题：

1 2 3 4全排列，求字典序的第10个

首先假设第一个数是1，那么后面有3! = 6 < 10种排列情况，所以打头的不是1。  继续假设是2，后面三个数也有6种排列情况， 6 + 6 ≥ 10，所以第一个数确定是2，此时跳过了第一个数为1的6种情况。

继续假设第二个数是1，后面有2! = 2种情况， 2 + 6 ＜ 10，所以假设第二个数是3(注意2已经在第一个数中用过了)，依旧是有2种情况， 8 + 2 ≥ 10，第二个数确定是3，跳过了10种情况。

后面因为10 ≥ 10，所以第三第四个数分别是1 4

所求的排列就是2 3 1 4

回到这个题上来：

前面已经求得了i个数中第k小打头的方案数，所以我们也完全可以模拟上面的思维过程来求解。

微调：以第i短的木棒作第k根时，有UP和DOWN两类方案，先用DOWN的方案数和C比较

 //#define LOCAL
 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 using namespace std;

 const int maxn = ;
 const int UP = ;
 const int DOWN = ;
 long long C[maxn][maxn][];

 void Init(int n)
 {
     memset(C, , sizeof(C));
     C[][][UP] = C[][][DOWN] = ;
     for(int i = ; i <= n; ++i)
         for(int k = ; k <= i; ++k)
         {
             for(int M = k; M < i; ++M)
                 C[i][k][UP] += C[i - ][M][DOWN];
             for(int N = ; N <= k - ; ++N)
                 C[i][k][DOWN] += C[i - ][N][UP];
         }
 }

 void Print(int n, long long c)
 {
     long long skipped = ;
     int seq[maxn], used[maxn];
     memset(used, , sizeof(used));
     for(int i = ; i <= n; ++i)
     {
         long long oldVal = skipped;
         int k, No = ;
         for(k = ; k <= n; ++k)
         {
             oldVal = skipped;
             if(!used[k])
             {
                 ++No;
                 if(i == )
                     skipped += C[n][No][UP] + C[n][No][DOWN];
                 else
                 {
                     if(k > seq[i - ] && (i ==  || seq[i - ] > seq[i - ]))
                         skipped += C[n - i + ][No][DOWN];
                     else if(k < seq[i - ] && (i ==  || seq[i - ] < seq[i - ]))
                         skipped += C[n - i + ][No][UP];
                 }
                 if(skipped >= c)
                     break;
             }
         }
         used[k] = ;
         seq[i] = k;
         skipped = oldVal;
     }

     for(int i = ; i < n; ++i)    printf("%d ", seq[i]);
     printf("%d\n", seq[n]);
 }

 int main(void)
 {
     #ifdef LOCAL
         freopen("1037in.txt", "r", stdin);
     #endif

     int T, n;
     long long c;
     Init();
     scanf("%d", &T);
     while(T--)
     {
         scanf("%d %lld", &n, &c);
         Print(n, c);
     }
     return ;
 }

代码君