欧拉定理 & 扩展欧拉定理笔记

欧拉函数

欧拉函数定义为：$\varphi(n)$ 表示 $1 \sim n$ 中所有与 $n$ 互质的数的个数。

关于欧拉函数有下面的性质和用途：

欧拉函数是积性函数。可以通过这个性质求出他的公式。
- $f(p) = p - 1$。很显然，比质数 $p$ 小的所有数都与他互质。
- $f(p ^ 2) = p \times (p - 1)$。显然，对于这 $p ^ 2$ 个数，只有 $p, 2p, 3p \cdots p ^ 2$ 不与 $p ^ 2$ 互质。
- $f(p ^ k) = p ^ {k - 1}(p - 1)$。
- 假设 $n = \prod^k p_i ^ {c_i}$，则 $f(n) = \prod^k f(p_i ^ {c_i}) = \prod^k p_k ^ {c_k - 1}(p_k - 1) = n \prod^k \dfrac{p_k - 1}{p_k}$。
欧拉函数可以用线性筛筛出来。

假设当前的数是 $n$，遍历到的质数为 $p$，那么 $m = p \times n$ 肯定要被筛掉。根据欧拉筛：
- 若 $p | n$，那么 $p$ 是 $n$ 的最小质因子，且 $n$ 中包含 $m$ 的所有质因子。根据单个欧拉函数的求法可以得到：$\varphi(m) = \varphi(n) \times p$。
- 否则，$p$ 和 $n$ 互质，根据积性函数的性质，$\varphi(m) = \varphi(n) \varphi(p)$。

int get_phi(int n) {

    phi[1] = 1;

    for (int i = 2; i <= n; i ++ ) {

        if (!st[i]) p[ ++ cnt] = i, phi[i] = i - 1;

        for (int j = 1; j <= cnt and 1ll * i * p[j] <= n; j ++ ) {

            st[i * p[j]] = true; if (i % p[j] == 0) {

                phi[i * p[j]] = phi[i] * p[j]; break;

            } phi[i * p[j]] = phi[i] * phi[p[j]];

        }

    }

}

欧拉函数可以用来降幂。下面就来介绍。

完全剩余系

对于整数集 $S = \{r_1, r_2 \cdots r_n\}$ 满足：

任意不同元素 $r_i, r_j$，都有 $r_i \not \equiv r_j(\bmod \ m)$。
$\forall a \in \mathbb{Z}$，$\exists r \in S, r \equiv a(\bmod \ m)$。

例如，对于 $m = 5$，$S = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ 就是 $5$ 的一个完全剩余系。通常地，将模 $m$ 的完全剩余系记做 $\mathbb{Z_m}$。

实际应用中，通常用 $\mathbb{Z_m} = \{0, 1, 2 \cdots m - 1\}$ 来表示，也就是模 $m$ 的最小非负完全剩余系。

推论 $1$：任意 $m$ 个连续整数构成模 $m$ 的完全剩余系。

推论 $2$：若 $a \bot m$ 且 $\mathbb{Z_m}$ 是一个完全剩余系，则 $S = \{a, 2a \cdots ma\}$ 构成一个完全剩余系。

下面证明推论 $2$。

设集合 $S = \{ra | r \in \mathbb{Z_m}\}$。对于 $r_i, r_j \in \mathbb{Z_m}, r_i \ne r_j$。假设存在同余 $r_i a \equiv r_j a (\bmod \ m)$。由于 $a \bot m$，因此 $r_i \equiv r_j(\bmod \ m)$。根据完全剩余系的互异性，假设不成立。$S$ 的互异性证明完成。

因为 $S \subset \mathbb{Z}$，由定义 $(2)$ 可得，$\forall a \in S$，$\mathbb{Z_m}$ 中有唯一的 $r$ 满足 $r \equiv a(\bmod \ m)$。因此构成 $S$ 对 $\mathbb{Z_m}$ 的单射。又因为 $|S| = |\mathbb{Z_m}|$，故构成 $S$ 到 $\mathbb{Z_m}$ 的双射。

则对于任意整数，都存在 $\mathbb{Z_m}$ 中的某个数 $r$ 与之同余，亦存在 $S$ 中某个数与之同余。定义 $(1)$ 证明完成。因此 $S$ 是一个完全剩余系。

简化剩余系

在完全剩余系基础上加上了更强的限制。

定义 $\Phi_m = \{r_1, r_2 \cdots r_s\}$ 为模 $m$ 的简化剩余系，当且仅当：

任意不同元素 $r_i, r_j \in \Phi_m$，都有 $r_i \not \equiv r_j(\bmod \ m)$。
$\forall a \in \mathbb{Z}$，$\exists r \in \Phi_m, r \equiv a(\bmod \ m)$。
$\forall r \in \Phi_m, r \bot m$。

其中定义 $(2), (3)$ 可以合并为 $\forall a \bot m$，都存在唯一的 $r \in \Phi_m$ 满足 $a \equiv r(\bmod \ m)$。

下面证明简化剩余系的一些推论。

推论 $1$：该剩余系对于 $\bmod \ m$ 的乘法具有封闭性。

证明：$\forall r_i, r_j \in \Phi_m$，都有 $r_i \bot m, r_j \bot m$。因此有 $r_i r_j \bot m$。根据性质 $(2), (3)$，$r_i r_j$ 也在 $\Phi_m$ 中。

根据 $a_i \bot m \to a_i \bot a_i ^ {-1}$ 可知，$a_i$ 的乘法逆元也在 $\Phi_m$ 中。因此证明了关于乘法和除法的封闭性，还证明了逆元的存在。

事实上，该简化剩余系 $\Phi_m$ 构成关于模 $m$ 乘法运算的交换群（阿贝尔群）。

推论 $2$：$\varphi(m) = |\Phi_m|$。

推论 $3$：对于 $m > 2$，有：

\[\sum _{r \in \Phi_m} r = 0
\]

证明：可能算是感性证明。根据欧几里得算法的流程，$(r, m) = 1$，则 $(m, m - r) = 1$，也即 $(m, -r) = 1$。因此，如果 $r$ 在 $\Phi_m$ 中，则 $-r$ 也在 $\Phi_m$ 中。由于 $r$ 与 $-r$ 模 $m$ 不相等，因此简化剩余系中的数总是成对出现。相加可以证明。

这也说明，简化剩余系 $\Phi_m$ 的大小 $|\Phi_m|$ 一定是偶数（$m > 2$）。

推论 $4$：若 $a \bot m$ 且 $\mathbb{\Phi_m}$ 是一个完全剩余系，则 $S = \{ra | r \in \Phi_m\}$ 构成一个完全剩余系。

证明方法可以参考完全剩余系性质 $2$ 的证明。

欧拉定理

定义：若 $n, a$ 均为正整数，且 $n$ 与 $a$ 互质，则有 $a ^ {\varphi(n)} \equiv 1(\bmod \ n)$。

证明：对于 $n$ 的简化剩余系 $\Phi_n$，根据简化剩余系的推论 $4$ 可知，$S = \{ar | r \in \Phi_n\}$ 也构成模 $n$ 的简化剩余系。

根据 $\prod_{r \in \Phi_n} r \equiv \prod_{r \in S} r (\bmod \ n)$，有 $a^{|\Phi_n|} = a ^ {\varphi(n)} \equiv 1 (\bmod \ n)$。证毕。

由此可以得到更弱的定理 Farmet 小定理：$\forall p \in \mathbb{P}$，$a^{p - 1} \equiv 1 (\bmod \ p)$。

扩展欧拉定理

扩展欧拉定理的证明就不在我能力所及的范围内了。在这就放个结论吧。

\[\left\{\begin{matrix}
a ^ b \equiv a ^ {b} (\bmod \ p), \ b < \varphi(p) \\\\

a ^ b \equiv a ^ {b \bmod \varphi(p) + \varphi(p) (\bmod \ p)}, \ b \ge \varphi(p)
\end{matrix}\right.\]

这个柿子就比较有用了，可以用来搞降幂之类的事情。

欧拉降幂模板代码

例题

P4139 上帝与集合的正确用法

求 $2 ^ {2 ^ {2 ^ {\cdots ^ {2}}}} \bmod p$ 的值。

设 $f(p)$ 表示 $2$ 的幂塔对 $p$ 取模的值。那么他就等于 $2 ^ {f(\varphi(p)) + \varphi(p)}$。由于 $\varphi$ 函数下降速度极快（$\log$ 速度），很快 $\varphi(p)$ 降为 $1$。这个东西可以递归求解。

int solve(int p) {

	if (p == 1) return 0;

	int phi = get_phi(p);

	int s = solve(phi);

	return qpow(2, s + phi, p);

}

CF906D Power Tower

给定一个数列 $w_1, w_2 \cdots w_n$ 和模数 $p$, 每次询问一个区间 $[l,r]$，求 $w_l ^ {w_{l + 1} ^ {w_{l + 2} ^ {{\cdots}^{w_r}}}} \bmod\ p$ 的值

考虑欧拉降幂。欧拉函数下降速度很快，$O(\log p)$ 次就能降为 $1$。因此可能只需要计算到 $w_{l + k}$，后面的就全模 $1$ 了（当然模 $1$ 就是 $0$）。这个 $k$ 是 $O(\log p)$ 级别的。

上面讨论的都是幂次大于 $\varphi(p)$ 的情况。如果幂次小于 $\varphi(p)$ 呢？怎么提前判断掉呢？

如果数列的每一项都 $\ge 2$，那么可以直接暴力判断，因为 $O(\log p)$ 个数乘起来就会达到 $p$。但是如果存在 $1$ 呢？这个也好办，直接把 $r$ 调到 $l$ 后边的第一个 $1$ 前面就行，这样保证了 $[l, r]$ 中没有 $1$。同时，这个 $1$ 对答案也没有影响，因为 $x ^ 1 = x, 1 ^ x = 1$。

下面是一份可供参考的代码实现：

#include <iostream>

#include <cstring>

#include <cstdio>

#include <map>

#define int long long

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m, p, a[N], suf[N];

map<int, int> bin;

int qpow(int a, int b, int p) {

	int s = 1; for (; b; b >>= 1, a = a * a % p)

		if (b & 1) s = s * a % p; return s;

}

bool check(int a, int b, int p) {

	int s = 1;

	for (; b; b >>= 1, a = a * a) {

		if (a >= p) return 0;

		if (b & 1) {

			s = s * a; if (s >= p) return 0;

		}

	} return 1;

}

int get_phi(int n) {

	int s = n;

	for (int i = 2; i <= n / i; i ++ ) if (!(n % i))  {

		s = s / i * (i - 1); while (!(n % i)) n /= i;

	} if (n != 1) s = s / n * (n - 1); return s;

}

int solve(int u, int r, int p) {

	if (u == r) return a[u] % p;

	if (p == 1) return 0;

	int phi = bin[p], s = a[r]; bool flg = 0;

	for (int i = r; i > u + 1; i -- ) {

		if (!check(a[i - 1], s, phi)) { flg = 1; break; }

		s = qpow(a[i - 1], s, phi);

	} if (s >= phi) flg = 1; int pw;

	if (flg) pw = solve(u + 1, r, phi) + phi;

	else pw = s;

	return qpow(a[u], pw, p);

}

signed main() {

	scanf("%lld%lld", &n, &p);

	for (int i = 1; i <= n; i ++ )

		scanf("%lld", &a[i]);

	scanf("%lld", &m); int t = p; bin[1] = 1;

	while (t != 1) bin[t] = get_phi(t), t = bin[t];

	suf[n + 1] = n + 1;

	for (int i = n; i >= 1; i -- )

		if (a[i] == 1) suf[i] = i;

		else suf[i] = suf[i + 1];

	while (m -- ) {

		int l, r; scanf("%lld%lld", &l, &r);

		r = min(r, suf[l]); printf("%lld\n", solve(l, r, p));

	} return 0;

}