最长公共子序列-LCS问题 (LCS与LIS在特殊条件下的转换) [洛谷1439]

题目描述

给出1-n的两个排列P1和P2，求它们的最长公共子序列。

输入

第一行是一个数n，

接下来两行，每行为n个数，为自然数1-n的一个排列。

输出

一个数，即最长公共子序列的长度

输入样例

5
3 2 1 4 5
1 2 3 4 5

输出样例

3

说明

对于50%的数据，n≤1000

对于100%的数据，n≤100000

思路

常见的LCS问题是通过O(n²)的DP解决的，显然此题的数据是过不去的

如何想办法？

这里就要参考在特殊条件下LCS与LIS（最长上升序列）的转换

我们记录下第一个排列每一个数字出现的位置，即Hash[ ai ] = i

而这个序列再按第二个排列排序，即新型成的序列Seq[ i ] = Hash[ bi ]

这样做了以后发现有什么规律呢？

新的序列Seq是满足B排列的先后顺序单调递增的，而在Seq的Hash值是按A排列的先后顺序单调递增的

那么在Seq中找到的最长上升序列就是同时满足A序列和B序列的先后关系的一个子序列

这样就把LCS成功的转换成了LIS问题

我们知道LIS的问题是可以O(n log n) 的解决的，在此不作赘述。

那么我们前面提到的特殊条件是什么呢？

由于这里记录的是Hash值，所以不能有重复的数字。

代码

 #include<set>
 #include<map>
 #include<stack>
 #include<queue>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define RG register int
 #define rep(i,a,b)    for(RG i=a;i<=b;i++)
 #define per(i,a,b)    for(RG i=a;i>=b;i--)
 #define ll long long
 #define inf (1<<30)
 #define maxn 100005
 using namespace std;
 int n,cnt;
 int hash[maxn],seq[maxn],dp[maxn];
 inline int read()
 {
     int x=,f=;char c=getchar();
     while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}
     while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-'';c=getchar();}
     return x*f;
 }

 void solve()
 {
     int l,r,mx=,mid,p;
     rep(i,,n)
     {
         l=,r=mx,p=;
         while(l<=r)
         {
             mid=(l+r)>>;
             if(dp[mid]<=seq[i])    p=mid,l=mid+;
             else r=mid-;
         }
         if(p==mx)    dp[++mx]=seq[i];
         else dp[p+]=min(dp[p+],seq[i]);
     }
     cout<<mx;
 }

 int main()
 {
     int tmp;
     n=read();
     rep(i,,n) tmp=read(),hash[tmp]=i;
     rep(i,,n) tmp=read(),seq[++cnt]=hash[tmp];//如果两个序列的值有不相同的，请在逗号处加上 if(hash[tmp])，此题因为是排列所以不用加
     solve();
     return ;
 }