sin n次方 x 的降幂公式

A(n) = ∫ sinⁿx dx
= ∫ sinⁿ⁻¹xsinx dx
= - ∫ sinⁿ⁻¹x d(cosx)
= - sinⁿ⁻¹xcosx + ∫ cosx • d(sinⁿ⁻¹)
= - sinⁿ⁻¹xcosx + (n - 1)∫ cosx • sinⁿ⁻²x • cosx dx
= - sinⁿ⁻¹xcosx + (n - 1)∫ sinⁿ⁻²x • (1 - sin²x) dx
= - sinⁿ⁻¹xcosx + (n - 1)A(n - 2) - (n - 1)A(n)
[1 + (n - 1)]A(n) = - sinⁿ⁻¹xcosx + (n - 1)A(n - 2)
A(n) = (- 1/n)sinⁿ⁻¹xcosx + [(n - 1)/n]A(n - 2),这就是让sinⁿx降幂的公式
∴
∫ sin⁶x dx
= (- 1/6)sin⁵xcosx + (5/6)∫ sin⁴x dx
= (- 1/6)sin⁵xcosx + (5/6)[(- 1/4)sin³xcosx + (3/4)∫ sin²x dx]
= (- 1/6)sin⁵xcosx - (5/24)sin³xcosx + (15/24)[(- 1/2)sinxcosx + (1/2)∫ dx]
= (- 1/6)sin⁵xcosx - (5/24)sin³xcosx - (15/48)sinxcosx + 15x/48 + C
特别地,当下限是0,上限是π/2时,有
∫(0→π/2) sinⁿx dx = ∫(0→π/2) cosⁿx dx = 
{ (n - 1)!/n! ,n是正奇数
{ (n - 1)!/n! • π/2,n是正偶数
是Wallis公式