产品排序 product

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【问题描述】
　　你是一个公司的员工,你会按时间顺序受到一些产品的订单,你需要用一个栈来改变这些订单的顺序(每个产品都必须入栈和出栈一次)。
　　按初始顺序,每次可以将一个产品入栈,或将栈顶产品弹至现在的序列末尾。

　　每个产品有一个制作时间t i 和单位时间惩罚值d i 。

　　总的惩罚值为∑ ni=1 (s i × d i ),其中s i 为第i个产品的完成时间,你需要最小化总的惩罚值。
【输入】
　　输入文件 product.in。
　　第一行一个数n,表示产品个数。
　　接下来n行,每行两个数表示t i , d i 。
【输出】
　　输出文件 product.out。
　　一行一个数表示最小的总惩罚值。

【样例输入】

　　4

　　1 4

　　3 2

　　5 2

　　2 1

【样例输出】

　　40

【数据范围】

　　30%: n ≤ 15
　　50%: n ≤ 100
　　100%: n ≤ 200, t i , d i ≤ 1000

正解：

　　f[l][r] : 标号 l~r 的最小惩罚值 （时间上以开始生产[ l , r ]的产品为起始）

　　< st[ ] 为时间前缀和 sd[ ] 为单位时间惩罚值前缀和>

　　在[l,r] 中枚举 i , i 为 [l,r]中最后一个出栈的元素 即栈中最后一个元素

　　f[l][r]=min(f[l][r],f[l][i-1]+f[i+1][r]+(st[i-1]-st[l-1])*(sd[r]-sd[i])+(st[r]-st[l-1])*d[i]);

　　这个转移方程式我真的想了差不多十分钟才看懂

　　如下：(一定要仔细,耐心理解 qwq)

　　i 为最后一个出栈的元素 所以 l ~ i-1 一定在 i 进栈前就出栈了(否则它们现在就还在栈中)

　　f[l][i-1] 和 f[i+1][r] 都只与它们内部的顺序以及 [ l , i ]的总时间有关

　　是两个互不相关的子问题

　　(st[r]-st[l-1])*d[i]) 是 i 的惩罚值 很好理解

　　(st[i-1]-st[l-1])*(sd[r]-sd[i]) 我觉得是一个很巧妙的地方啊

　　我觉得我现在说不清楚 要自己领会一下qwq

　　但是我还是要大概说一下<这里用记忆化搜索实现的>

　　　　　　是加法结合律的逆向运用

　　　　　　然后保证了计算f[i+1][r]的时间是包括[l,r]中比它们先出去的产品的完成时间的

　　　　　　至于内部的顺序问题 又到下一层函数解决了

　　　　　　层层递归

 CODE

 #include <cmath>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 using namespace std;

 #define LY(p) freopen (p".in", "r", stdin); freopen (p".out", "w", stdout)
 #define LL long long
 #define dbl double
 #define lf long double
 #ifdef WIN32
 #define L_L "%I64d"
 #else
 #define L_L "%lld"
 #endif
 #define N 210
 int n, t[N], d[N], st[N], sd[N];
 LL f[N][N];

 int main()
 {
     scanf ("%d", &n);
     for (int i = ; i <= n; i++) {
         scanf ("%d %d", &t[i], &d[i]);
         st[i] = st[i - ] + t[i];
         sd[i] = sd[i - ] + d[i];
     }

     memset (f, 0x3f, sizeof (f));
     for (int i = ; i <= n; i++)
         f[i][i] = d[i] * t[i], f[i][i - ] = ;
     f[n + ][n] = ;

     for (int l = ; l < n; l++)
         for (int i = ; i + l <= n; i++)
         {
             int j = i + l;
             for (int k = i; k <= j; k++)
                 f[i][j] = min
                     (f[i][k - ] + f[k + ][j] + 1LL * (st[k - ] - st[i - ]) * (sd[j] - sd[k]) + 1LL * (st[j] - st[i - ]) * d[k], f[i][j]);
         }

     printf (L_L, f[][n]);
     return ;
 }

std 非记搜

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #define go(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;i++)
 #define ll long long
 #define M 201
 #define inf 21000000000000
 using namespace std;
 ll read()
 {
     int x=,y=;char c=getchar();
     while(c<''||c>'') {if(c=='-') y=-;c=getchar();}
     while(c>=''&&c<='') {x=(x<<)+(x<<)+c-'';c=getchar();}
     return x*y;
 }
 ll n,t[M],d[M],st[M],sd[M],f[M][M];
 ll dfs(int l,int r)
 {
     if(l>r) return ;
     if(l==r) return t[l]*d[l];
     if(f[l][r]) return f[l][r];
     f[l][r]=inf;
     go(i,l,r)
         f[l][r]=min(f[l][r],dfs(l,i-)+dfs(i+,r)+(st[r]-st[l-])*d[i]+(st[i-]-st[l-])*(sd[r]-sd[i]));
     return f[l][r];
 }
 int main()
 {
     n=read();
     go(i,,n)
     {
         t[i]=read();st[i]=st[i-]+t[i];
         d[i]=read();sd[i]=sd[i-]+d[i];
     }
     printf("%lld",dfs(,n));
     return ;
 }

dtt 记搜