2018.07.18 HAOI2009 逆序对数列（线性dp）

传送门

目前只会n2" role="presentation" style="position: relative;">n2n2的dp" role="presentation" style="position: relative;">dpdp做法。

设dp[i][j]" role="presentation" style="position: relative;">dp[i][j]dp[i][j]表示1" role="presentation" style="position: relative;">11~i" role="presentation" style="position: relative;">ii的排列逆序对为j" role="presentation" style="position: relative;">jj的方案数。显然这个东西是可以递推的。相当于将i" role="presentation" style="position: relative;">ii插入到1" role="presentation" style="position: relative;">11~i−1" role="presentation" style="position: relative;">i−1i−1的排列中，然后就可以从dp[i−1][k]" role="presentation" style="position: relative;">dp[i−1][k]dp[i−1][k]转移过来。

然后我们就惊奇的发现这个方法是O（n3）" role="presentation" style="position: relative;">O（n3）O（n3）的，显然会T" role="presentation" style="position: relative;">TT掉。

如何优化？

仔细观察会发现，dp[i][j]" role="presentation" style="position: relative;">dp[i][j]dp[i][j]是由dp[i−1]" role="presentation" style="position: relative;">dp[i−1]dp[i−1]的前缀和转移过来的，因此每次枚举i" role="presentation" style="position: relative;">ii之后，我们维护一个叫做sum" role="presentation" style="position: relative;">sumsum的东西来表示dp[i−1]" role="presentation" style="position: relative;">dp[i−1]dp[i−1]的前缀和然后就能O（n2）" role="presentation" style="position: relative;">O（n2）O（n2）转移了。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1005
#define mod 10000
using namespace std;
inline int read(){
    int ans=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))ch=getchar();
    while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return ans;
}
int dp[N][N],ans=0,n,k;
int main(){
    n=read(),k=read();
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[1][0]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        ans=0;
        for(int j=0;j<=k;++j){
            ans=(ans+dp[i-1][j])%mod;
            dp[i][j]=ans%mod;
            if(j+1-i>=0)ans=(ans-dp[i-1][j-i+1]+mod)%mod;
        }
    }

    printf("%d",dp[n][k]);
    return 0;
}