prufer 序列 学习笔记

prufer 序列是一种无根树的序列，对于一个 \(n\) 个点的树，其 prufer 序列的长度为 \(n-2\)。

prufer 序列和原树之间都可以唯一地相互转化。

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构造

构造 prufer 序列分为如下的步骤：

1. 找到一个编号最小的度数为 \(1\) 的点；
2. 将与这个点相邻的点的编号加入 prufer 序列的后面；
3. 删除这个点；
4. 重复上述步骤，知道原树只剩下 \(2\) 个点，这两个点之间应该有一条边。

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还原

令集合 \(V = \{1, 2, \cdots, n\}\)。

1. 取出 prufer 序列最前面的点 \(x\)；
2. 找到 \(V\) 序列中最小的没有在现在的 prufer 序列中出现过的点 \(y\)；

3. 将 \(x\) 和 \(y\) 连边并从集合 \(V\) 中删除 \(y\)，从 \(prufer\) 序列中删除最前面的 \(x\)。

4. 重复上述步骤，直到 prufer 序列被遍历完；此时 \(V\) 中应该还剩下两个点，给它们连边。

考虑这样还原为什么是对的。

每一次被配对的 \(y\)，应该是原树在删掉 prufer 序列 \(x\) 之前的点后的叶子。

那么根据之前的构造步骤，这个 \(y\) 必须满足：

1. 是个叶子，这个条件等价于没有在后面的 prufer 序列中出现。
2. 之前没有被选过；
3. 编号最小。

于是就有了上面的选 \(y\) 的条件了。

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性质

性质 1

一棵无根树的每个点的度数等于这个点在 prufer 序列中的出现次数 \(+1\)。

这个结论很显然，由构造过程就可以发现。

性质 2

一棵有标号的无根树的数量为 \(n^{n-2}\)。

可以发现我们的还原过程中，prufer 序列本身没有任何限制。

只要是长度为 \(n-2\)，值域为 \(n\) 的序列，都可以还原成一棵树。

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性质 3

如果限定了每个点的度数，编号为 \(i\) 的点的度数为 \(a_i\)，那么方案为 \(\frac{(n-2)!}{\prod\limits_{i=1}^n a_i-1}\)。

显然必须有 \(\sum\limits_{i=1}^n a_i = 2(n-1) = 2n - 2\)，于是 \(\sum\limits_{i=1}^n a_i - 1 = n - 2\)，所以相当于是做一个可以重复元素的全排列。

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例题