【PowerOJ1739&网络流24题】魔术球问题（最大流）

题意：

思路：

0.【问题分析】

枚举答案转化为判定性问题，然后最小路径覆盖，可以转化成二分图最大匹配，从而用最大流解决。

【建模方法】

枚举答案A，在图中建立节点1..A。如果对于i<j有i+j为一个完全平方数，连接一条有向边(i,j)。该图是有向无环图，求最小路径覆盖。如果刚好满足最小路径覆盖数等于N，那么A是一个可行解，在所有可行

解中找到最大的A，即为最优解。

具体方法可以顺序枚举A的值，当最小路径覆盖数刚好大于N时终止，A-1就是最优解。

【建模分析】

由于是顺序放球，每根柱子上的球满足这样的特征，即下面的球编号小于上面球的编号。抽象成图论，把每个球看作一个顶点，就是编号较小的顶点向编号较大的顶点连接边，条件是两个球可以相邻，即

编号之和为完全平方数。每根柱子看做一条路径，N根柱子要覆盖掉所有点，一个解就是一个路径覆盖。

最小路径覆盖数随球的数量递增不递减，满足单调性，所以可以枚举答案（或二分答案），对于特定的答案求出最小路径覆盖数，一个可行解就是最小路径覆盖数等于N的答案，求出最大的可行解就是最

优解。本问题更适合枚举答案而不是二分答案，因为如果顺序枚举答案，每次只需要在残量网络上增加新的节点和边，再增广一次即可。如果二分答案，就需要每次重新建图，大大增加了时间复杂度。

输出方案时候不需要重新跑一遍，虽然最后的残余网络比答案多两个点和一些边，但合法那部分的残余网络还是一样的

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 typedef unsigned int uint;
 typedef unsigned long long ull;
 typedef long double ld;
 typedef pair<int,int> PII;
 typedef pair<ll,ll> Pll;
 typedef vector<int> VI;
 typedef vector<PII> VII;
 typedef pair<ll,ll>P;
 #define N  100010
 #define M  3000000
 #define INF 1e9
 #define fi first
 #define se second
 #define MP make_pair
 #define pb push_back
 #define pi acos(-1)
 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 #define rep(i,a,b) for(int i=(int)a;i<=(int)b;i++)
 #define per(i,a,b) for(int i=(int)a;i>=(int)b;i--)
 #define lowbit(x) x&(-x)
 #define Rand (rand()*(1<<16)+rand())
 #define id(x) ((x)<=B?(x):m-n/(x)+1)
 #define ls p<<1
 #define rs p<<1|1

 const ll MOD=1e9+,inv2=(MOD+)/;
       double eps=1e-;
       int dx[]={-,,,};
       int dy[]={,,-,};

 int head[N],vet[M],len[M],nxt[M],dis[N],p[N],vis[N],tot,S,T,s;

 int read()
 {
    int v=,f=;
    char c=getchar();
    while(c<||<c) {if(c=='-') f=-; c=getchar();}
    while(<=c&&c<=) v=(v<<)+v+v+c-,c=getchar();
    return v*f;
 }

 void add(int a,int b,int c)
 {
     nxt[++tot]=head[a];
     vet[tot]=b;
     len[tot]=c;
     head[a]=tot;

     nxt[++tot]=head[b];
     vet[tot]=a;
     len[tot]=;
     head[b]=tot;
 }

 bool bfs()
 {
     queue<int>q;
     //rep(i,1,s) dis[i]=-1;
     rep(i,,s) dis[i]=dis[i+]=-;
     dis[T]=-;
     q.push(S),dis[S]=;
     while(!q.empty())
     {
         int u=q.front();
         q.pop();
         int e=head[u];
         while(e)
         {
             int v=vet[e];
             if(len[e]&&dis[v]==-)
             {
                 dis[v]=dis[u]+;
                 q.push(v);
             }
             e=nxt[e];
         }
     }
     return dis[T]!=-;
 }

 int dfs(int u,int aug)
 {
     if(u==T) return aug;
     int e=head[u],val=,flow=;
     while(e)
     {
         int v=vet[e];
         if(len[e]&&dis[v]==dis[u]+)
         {
             int t=dfs(v,min(len[e],aug));
             if(!t)
             {
                 e=nxt[e];
                 continue;
             }
             flow+=t;
             aug-=t;
             len[e]-=t;
             len[e^]+=t;
             if(!aug) break;
         }
         e=nxt[e];
     }
     if(!flow) dis[u]=-;
     return flow;
 }

 int maxflow()
 {
     int res=;
     while(bfs()) res+=dfs(S,INF);
     return res;
 }

 int main()
 {
     int n=read();
     S=; T=;
     rep(i,,T) head[i]=;
     tot=;
     s=;
     int sum=;
     while()
     {
         s++;
         rep(i,,s-)
          if(sqrt(s+i)==(int)sqrt(s+i)) add(i,s+,);
         add(S,s,);
         add(s+,T,);
         sum+=maxflow();
         int t=s-sum;
         if(t>n) break;
     }
     printf("%d\n",s-);
     rep(i,,s-)
     {
         int e=head[i];
         while(e)
         {
             int v=vet[e];
             if(!len[e]){p[i]=v-; break;}
             e=nxt[e];
         }
     }
     rep(i,,s-)
     {
         if(vis[i]) continue;
         int u=i;
         while(u!=-)
         {
             vis[u]=;
             printf("%d ",u);
             u=p[u];
         }
         printf("\n");
     }
     return ;
 }