●BZOJ 3143 [Hnoi2013]游走

题链：

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3143
题解：

期望dp，高斯消元
首先有这样一种贪心分配边的编号的方案：（然后我没想到，233）
我们按每一条边的期望经过次数去分配编号，
具体来说，就是期望经过次数越多的边，分配的编号越小，反之则编号越大。

然后问题转化为如何求一条边的期望经过次数。(把求边的期望转化为求点的期望)
我们定义cnt[i]表示i点的出度，dp[i]表示期望经过i点的次数。
然后对于一个边(u,v)，期望经过该边的次数为dp[u]/cnt[u]+dp[v]/cnt[v].
特别的：当u或者v为N号点时，对边的期望贡献为0，因为到了N点就结束了。
所以现在需要求出dp[i].
由全期望公式$$dp[i]=\sum_{j->i}dp[j]/cnt[j]$$
特别的：
1.j!=N，因为到达N点就已经结束游戏。
2.当i==1时，dp[i]还要多加一个数值1,因为初始是就期望直接经过了1次。
显然这个DP存在环，所以高斯消元解出dp值，然后再求出每一条边的期望经过次数，贪心地去编号即可。

注：高斯消元判断系数是否为0时,要用到eps，否则可能因为精度问题而出错。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 505
using namespace std;
const double eps=1e-7;
struct EDGE{
	int u,v; double exp;
	bool operator < (const EDGE &rtm) const{
		return exp>rtm.exp;
	}
}E[MAXN*MAXN];
double a[MAXN][MAXN],dp[MAXN],ans;
double *A[MAXN];
bool Edge[MAXN][MAXN];
int cnt[MAXN];
int N,M;
int dcmp(double x){
	if(fabs(x)<=eps) return 0;
	return x>0?1:-1;
}
void Gausselimination(int pos,int i){
	if(pos==N+1||i==N+1) return;
	for(int j=pos;j<=N;j++) if(dcmp(A[j][i])!=0){
		swap(A[pos],A[j]); break;
	}
	if(dcmp(A[pos][i])!=0){
		for(int j=pos+1;j<=N;j++){
			double k=A[j][i]/A[pos][i];
			for(int l=i;l<=N+1;l++)
				A[j][l]-=A[pos][l]*k;
		}
	}
	Gausselimination(pos+(dcmp(A[pos][i])!=0),i+1);
	if(dcmp(A[pos][i])!=0){
		for(int l=i+1;l<=N;l++)
			dp[i]+=A[pos][l]*dp[l];
		dp[i]=A[pos][N+1]-dp[i];
		dp[i]=dp[i]/A[pos][i];
	}
}
void buildequation(){
	for(int i=1;i<=N;i++){
		a[i][i]=-1;
		if(i==1) a[i][N+1]=-1;
		for(int j=1;j<N;j++){
			if(!Edge[j][i]) continue;
			a[i][j]=1.0/cnt[j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=N;i++) A[i]=a[i];
}
int main(){
	scanf("%d%d",&N,&M);
	for(int i=1,u,v;i<=M;i++){
		scanf("%d%d",&u,&v);
		E[i].u=u; E[i].v=v;
		Edge[u][v]=Edge[v][u]=1;
		cnt[u]++; cnt[v]++;
	}
	buildequation();
	Gausselimination(1,1);
	for(int i=1,u,v;i<=M;i++){
		u=E[i].u; v=E[i].v;
		E[i].exp=(u!=N?dp[u]/cnt[u]:0)+(v!=N?dp[v]/cnt[v]:0);
	}
	sort(E+1,E+M+1);
	for(int i=1;i<=M;i++)
		ans+=E[i].exp*i;
	printf("%.3lf\n",ans);
	return 0;
}