LG4717 【模板】快速沃尔什变换

快速沃尔什变换

题目描述

给定长度为\(2^n\)两个序列\(A,B\)，设\(C_i=\sum_{j\oplus k}A_jB_k\)分别当\(\oplus\)是or,and,xor时求出C

输入输出格式

输入格式：

第一行一个数n。 第二行\(2^n\)个数\(A_0..A_{2^n-1}\)第三行\(2^n\)个数\(B_0..B_{2^n-1}\)

​

输出格式：

三行每行\(2^n\)个数，分别代表\(\oplus\)是or,and,xor时\(C_0..C_{2^n-1}\)的值\(\bmod\ 998244353\)

输入输出样例

输入样例#1：

2

2 4 6 8

1 3 5 7

输出样例#1：

2 22 46 250

88 64 112 56

100 92 68 60

说明

\(n\le 17\)。

题解

2015吕凯风论文和2013王迪论文。

快速莫比乌斯变换

这个只能用来做集合并和与卷积，但是容易理解。

我通过《浅谈容斥原理》找到了另一种形式：

那么通过相同的手段，就可以做集合交卷积。

快速沃尔什变换

这个理论有点复杂，现场推是不可能的，所以背版子吧。

还有类似FFT的实现，不过我反而觉得难写许多。

代码总结

• and是超集和变换（高维后缀和）。逆变换是超集差变换。

• or是子集和变换（高维前缀和）。逆变换是子集差变换。

• xor是蝴蝶变换。逆变换是最后除以长度。

void FAT(poly&a,int dir){ // and -> superset
	int lim=a.size(),len=log2(lim);
	for(int j=0;j<len;++j)
		for(int i=0;i<lim;++i)if(~i>>j&1)
			a[i]=add(a[i],dir==1?a[i|1<<j]:mod-a[i|1<<j]);
}
void FOT(poly&a,int dir){ // or -> subset
	int lim=a.size(),len=log2(lim);
	for(int j=0;j<len;++j)
		for(int i=0;i<lim;++i)if(i>>j&1)
			a[i]=add(a[i],dir==1?a[i^1<<j]:mod-a[i^1<<j]);
}
void FXT(poly&a,int dir){ // xor
	int lim=a.size(),len=log2(lim);
	for(int j=0;j<len;++j)
		for(int i=0;i<lim;++i)if(~i>>j&1){
			int l=a[i],r=a[i|1<<j];
			a[i]=add(l,r),a[i|1<<j]=add(l,mod-r);
		}
	if(dir==-1){
		int ilim=fpow(lim,mod-2);
		for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],ilim);
	}
}

int main(){
	int len=read<int>(),lim=1<<len;
	poly f(lim),g(lim);
	for(int i=0;i<lim;++i) read(f[i]);
	for(int i=0;i<lim;++i) read(g[i]);
	// or
	poly a=f,b=g;
	FOT(a,1),FOT(b,1);
	for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],b[i]);
	FOT(a,-1);
	for(int i=0;i<lim;++i) printf("%d%c",a[i]," \n"[i==lim-1]);
	// and
	a=f,b=g;
	FAT(a,1),FAT(b,1);
	for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],b[i]);
	FAT(a,-1);
	for(int i=0;i<lim;++i) printf("%d%c",a[i]," \n"[i==lim-1]);
	// xor
	a=f,b=g;
	FXT(a,1),FXT(b,1);
	for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],b[i]);
	FXT(a,-1);
	for(int i=0;i<lim;++i) printf("%d%c",a[i]," \n"[i==lim-1]);
	return 0;
}