c++ 平衡树

平衡树的性质

它其实就是一个 BST(Binary Search Tree 二叉搜索树)。

当然，不同的平衡树会有自己的特性

BST 的性质

只有一个：任意一个节点的左子树的所有节点都比它的优先级高，右子树的所有节点都比他的优先级低。

注意：一个节点也可以当成一颗子树

如下：

Why 平衡树？

看到这里你也许会想：既然平衡树就是一颗 BST ，那还要它干嘛？

看这里：



由于 BST 可能会退化成一条链，使得原本 \(O(log n)\) 的速度退化成 \(O(n)\)

于是，大佬们发明了各种各样的平衡树，避免 BST 退化成一条链

平衡树的分类

\[\text{平衡树}
\left\{
\begin{array}{**lr**}
\text{旋转平衡树}
\left\{
\begin{array}{**lr**}
\text{Splay} & \\
\text{Treap}
\end{array}
\right. & \\
\text{非旋平衡树}
\left\{
\begin{array}{**lr**}
\text{FHQ Treap} & \\
\text{替罪羊树}
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
\]

当然这里只是最常用的

还有更多的平衡树等待着你去学习、发明

平衡树的效率

操作	时间复杂度
插入元素	\(O(log n)\)
弹出元素	\(O(log n)\)
查询排名	\(O(log n)\)
查询第 K 大	\(O(log n)\)
查询前驱	\(O(log n)\)
查询后继	\(O(log n)\)
当然这些是基础功能，还有更多的以后会学到

平衡树的解析

FHQ Treap

这是一个最适合新手学习的

包含区间反转、可持久化

FHQ Treap

Splay

这个也是必须要掌握的

包含区间反转、 LCT

Splay

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The End