洛谷 P4093 [HEOI2016/TJOI2016]序列 CDQ分治优化DP

题目描述

佳媛姐姐过生日的时候，她的小伙伴从某宝上买了一个有趣的玩具送给他。

玩具上有一个数列，数列中某些项的值可能会变化，但同一个时刻最多只有一个值发生变化。现在佳媛姐姐已经研究出了所有变化的可能性，她想请教你，能否选出一个子序列，使得在任意一种变化中，这个子序列都是不降的？请你告诉她这个子序列的最长长度即可。

输入格式

输入的第一行有两个正整数 $n,m$，分别表示序列的长度和变化的个数。

接下来一行有 $n$ 个整数，表示这个数列原始的状态。

接下来 $m$ 行，每行有 $2$ 个整数 $x,y$，表示数列的第 $x$ 项可以变化成 $y$ 这个值。

输出格式

输出一个整数，表示对应的答案。

输入输出样例

输入 #1

3 4

1 2 3

1 2

2 3

2 1

3 4

输出 #1

3

说明/提示

注意：每种变化最多只有一个值发生变化。

在样例输入中，所有的变化是：

1 2 3

2 2 3

1 3 3

1 1 3

1 2 4

选择子序列为原序列，即在任意一种变化中均为不降子序列。

对于 $20\%$ 数据，所有数均为正整数，且小于等于 $300$。

对于 $50\%$ 数据，所有数字均为正整数，且小于等于 $3000$。

对于 $100\%$ 数据，所有数字均为正整数，且小于等于 $10^5$。$1\le x\le n$。

分析

我们设$min[i]$为处在位置$i$上的数变化得到的最小值，$max[i]$为处在位置$i$上的数变化得到的最大值，$f[i]$为以$i$结尾的最长上升子序列的长度

则$f[i]=max(f[i],f[j]+1),j<i,max[j] \leq i,min[i] \geq j$\

我们会发现这是一个三位偏序问题，可以用$CDQ$分治优化

代码

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<iostream>

inline int read(){

	int x=0,fh=1;

	char ch=getchar();

	while(ch<'0' || ch>'9'){

		if(ch=='-') fh=-1;

		ch=getchar();

	}

	while(ch>='0' && ch<='9'){

		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);

		ch=getchar();

	}

	return x*fh;

}

const int maxn=1e6+5;

int f[maxn],a[maxn],mmax[maxn],mmin[maxn],tr[maxn],n,m;

int lb(int xx){

	return xx&-xx;

}

void ad(int wz,int val){

	for(int i=wz;i<maxn;i+=lb(i)){

		tr[i]=std::max(tr[i],val);

	}

}

int cx(int wz){

	int ans=0;

	for(int i=wz;i>0;i-=lb(i)){

		ans=std::max(tr[i],ans);

	}

	return ans;

}

void qk(int wz){

	for(int i=wz;i<maxn;i+=lb(i)){

		tr[i]=0;

	}

}

int tot=1,id[maxn];

bool cmp1(int aa,int bb){

	return a[aa]<a[bb];

}

bool cmp2(int aa,int bb){

	return mmin[aa]<mmin[bb];

}

void solve(int l,int r){

	if(l==r) return;

	int mids=(l+r)>>1;

	solve(l,mids);

	for(int i=l;i<=r;i++) id[i]=i;

	std::sort(id+l,id+mids+1,cmp1);

	std::sort(id+mids+1,id+r+1,cmp2);

	int now=l;

	for(int i=mids+1;i<=r;i++){

		while(a[id[now]]<=mmin[id[i]] && now<=mids){

			ad(mmax[id[now]],f[id[now]]);

			now++;

		}

		f[id[i]]=std::max(f[id[i]],cx(a[id[i]])+1);

		tot=std::max(tot,f[id[i]]);

	}

	for(int i=now-1;i>=l;i--){

		qk(mmax[id[i]]);

	}

	solve(mids+1,r);

}

int main(){

	n=read(),m=read();

	for(int i=1;i<=n;i++){

		a[i]=read();

		mmax[i]=mmin[i]=a[i];

		f[i]=1;

	}

	for(int i=1;i<=m;i++){

		int aa,bb;

		aa=read(),bb=read();

		mmax[aa]=std::max(mmax[aa],bb);

		mmin[aa]=std::min(mmin[aa],bb);

	}

	solve(1,n);

	printf("%d\n",tot);

	return 0;

}