timus1004 最小环()Floyd 算法

通过别人的数据搞了好久才成功,果然还是不够成熟

做题目还是算法不能融会贯通

大意即找出图中至少3个顶点的环,且将环中点按顺序输出

用floyd算法求最小环

因为floyd算法求最短路径是通过中间量k的增加而更新的

算法流程:

对于k,我们知道利用floyd算法求出任意两点i,j最短距离,仅通过路径i-()-j,其中()中的节点编号均<=k-1

可以这样证明:

设最小环上最大点的编号为k0;则当k=k0时,对于任意与k0相接两点i,j两者

1.对于环的剩下一部分必然是i到j的最短路径,因为最佳

2.最短路径必然是通过{1,...,k-1},否则该最小环最大编号必然大于k,故ans=f[i][j]+Graph[i][k]+Graph[j][k]   (f[i][j]表示当前通过前k-1点为中间路径的i-j的最短路径)

故通过枚举k,取ans=min(ans,f[i][j]+Graph[i][k]+Graph[j][k])  其中(i,j<k)  必能找到

而环顺序只需通过计算每次更新f[i][j]时的k记录pre[i][j]=k,之后通过递归即可得到,

需要注意的是:每次更新ans时就要将路径记录下来,不然之后可能路径会更新时被改变,这个改变可不代表路径还会缩短,首先要明白该算法必然能够求出最小环,故若求出最小环后可能之后缩短路径是会重边,即比如i到j的距离通过k后变短了,可是是重边得来的没有意义

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
int f[105][105],pre[105][105],Graph[105][105],ans,a[1000];
const int maxn=100000000;
int print(int i,int j){
    if (pre[i][j]==0) return 0;
    print(i,pre[i][j]);
    a[++a[0]]=pre[i][j];
    print(pre[i][j],j);
    return 0;
}
int main()
{
    int i,j,k,l,n,m;
    while(1){
        scanf("%d",&n);
        if (n==-1) break;
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=1;j<=n;j++){
            f[i][j]=maxn;
            Graph[i][j]=f[i][j];
            }
        memset(pre,0,sizeof(pre));
        ans=maxn;
        scanf("%d",&m);
        for(i=1;i<=m;i++){
            scanf("%d%d%d",&j,&k,&l);
            if(f[j][k]>l) {f[j][k]=l;Graph[j][k]=l;}
            if(f[k][j]>l) {f[k][j]=l;Graph[k][j]=l;}
        }
        for(k=1;k<=n;k++){
            for(i=1;i<=k-1;i++)
                for(j=1;j<=k-1;j++)
                if(i!=j)
                if(ans>f[i][j]+Graph[i][k]+Graph[j][k]){//此处不能用f[][]代替Graph[][] 容易举出实例
                    ans=f[i][j]+Graph[i][k]+Graph[j][k];
                    a[0]=0;
                    a[++a[0]]=i;
                    print(i,j);
                    a[++a[0]]=j;
                    a[++a[0]]=k;
                }
            for(i=1;i<=n;i++)
                for(j=1;j<=n;j++)
                if(i!=k&&j!=k&&i!=j)
                if(f[i][j]>f[i][k]+f[k][j]){
                    f[i][j]=f[i][k]+f[k][j];
                    pre[i][j]=k;
                    pre[j][i]=k;
                }
        }
        if(ans<maxn){
            for(i=1;i<a[0];i++)
                printf("%d ",a[i]);
            printf("%d\n",a[a[0]]);
        }else printf("No solution.\n");
    }
    return 0;
}