基于爬山算法求解TSP问题（JAVA）

一、TSP问题

TSP问题（Travelling Salesman Problem）即旅行商问题，又译为旅行推销员问题、货郎担问题，是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。

TSP问题是一个组合优化问题。该问题可以被证明具有NPC计算复杂性。TSP问题可以分为两类，一类是对称TSP问题（Symmetric TSP），另一类是非对称问题（Asymmetric TSP）。所有的TSP问题都可以用一个图（Graph）来描述：

V={c₁, c₂, …, c_i,
…, c_n}，i = 1,2, …, n，是所有城市的集合. c_i表示第i个城市， n为城市的数目；

E={(r, s): r,s∈ V}是所有城市之间连接的集合；

C = {c_rs: r,s∈ V}是所有城市之间连接的成本度量（一般为城市之间的距离）；

如果c_rs = c_sr, 那么该TSP问题为对称的，否则为非对称的。

一个TSP问题可以表达为：

求解遍历图G = (V, E, C)，所有的节点一次并且回到起始节点，使得连接这些节点的路径成本最低。

二、爬山算法

爬山算法是一种局部择优的方法，采用启发式方法，是对深度优先搜索的一种改进，它利用反馈信息帮助生成解的决策。 该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解，直到达到一个局部最优解。属于人工智能算法的一种。

爬山算法实现很简单，其主要缺点是会陷入局部最优解，而不一定能搜索到全局最优解。如下图所示：假设C点为当前解，爬山算法搜索到A点这个局部最优解就会停止搜索，因为在A点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解。

爬山算法实施步骤：

三、爬山算法求解TSP问题

在该JAVA实现中我们选择使用tsplib上的数据att48，这是一个对称TSP问题，城市规模为48，其最优值为10628.其距离计算方法下图所示：

具体代码如下：

package noah;

import java.io.BufferedReader;
import java.io.FileInputStream;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.Random;

public class HillClimbing {

	private int MAX_GEN;// 迭代次数
	private int cityNum; // 城市数量,编码长度
	private int[][] distance; // 距离矩阵
	private int bestT;// 最佳出现代数
	private int[] bestGh;// 最好的路径编码
	private int bestEvaluation;

	private Random random;

	public HillClimbing() {

	}

	/**
	 * constructor of GA
	 *
	 * @param n
	 *            城市数量
	 * @param g
	 *            运行代数
	 *
	 **/
	public HillClimbing(int n, int g) {
		cityNum = n;
		MAX_GEN = g;
	}

	// 给编译器一条指令，告诉它对被批注的代码元素内部的某些警告保持静默
	@SuppressWarnings("resource")
	/**
	 * 初始化HillClimbing算法类
	 * @param filename 数据文件名，该文件存储所有城市节点坐标数据
	 * @throws IOException
	 */
	private void init(String filename) throws IOException {
		// 读取数据
		int[] x;
		int[] y;
		String strbuff;
		BufferedReader data = new BufferedReader(new InputStreamReader(
				new FileInputStream(filename)));
		distance = new int[cityNum][cityNum];
		x = new int[cityNum];
		y = new int[cityNum];
		for (int i = 0; i < cityNum; i++) {
			// 读取一行数据，数据格式1 6734 1453
			strbuff = data.readLine();
			// 字符分割
			String[] strcol = strbuff.split(" ");
			x[i] = Integer.valueOf(strcol[1]);// x坐标
			y[i] = Integer.valueOf(strcol[2]);// y坐标
		}
		// 计算距离矩阵
		// 针对具体问题，距离计算方法也不一样，
		// 此处用的是att48作为案例，它有48个城市，距离计算方法为伪欧氏距离，最优值为10628
		for (int i = 0; i < cityNum - 1; i++) {
			distance[i][i] = 0; // 对角线为0
			for (int j = i + 1; j < cityNum; j++) {
				double rij = Math
						.sqrt(((x[i] - x[j]) * (x[i] - x[j]) + (y[i] - y[j])
								* (y[i] - y[j])) / 10.0);
				// 四舍五入，取整
				int tij = (int) Math.round(rij);
				if (tij < rij) {
					distance[i][j] = tij + 1;
					distance[j][i] = distance[i][j];
				} else {
					distance[i][j] = tij;
					distance[j][i] = distance[i][j];
				}
			}
		}
		distance[cityNum - 1][cityNum - 1] = 0;

		bestGh = new int[cityNum];
		bestEvaluation = Integer.MAX_VALUE;
		bestT = 0;

		random = new Random(System.currentTimeMillis());
	}

	// 初始化编码Ghh
	void initGroup() {
		int i, j;
		bestGh[0] = random.nextInt(65535) % cityNum;
		for (i = 1; i < cityNum;)// 编码长度
		{
			bestGh[i] = random.nextInt(65535) % cityNum;
			for (j = 0; j < i; j++) {
				if (bestGh[i] == bestGh[j]) {
					break;
				}
			}
			if (j == i) {
				i++;
			}
		}
	}

	public int evaluate(int[] chr) {
		int len = 0;
		// 染色体，起始城市,城市1,城市2...城市n
		for (int i = 1; i < cityNum; i++) {
			len += distance[chr[i - 1]][chr[i]];
		}
		// 城市n,起始城市
		len += distance[chr[cityNum - 1]][chr[0]];
		return len;
	}

	// 爬山算法
	public void pashan(int[] Gh, int T) {
		int i, temp, tt = 0;
		int ran1, ran2;
		int e;// 评价新值
		int[] tempGh = new int[cityNum];
		bestEvaluation = evaluate(Gh);

		// 爬山代数T
		for (tt = 0; tt < T; tt++) {
			for (i = 0; i < cityNum; i++) {
				tempGh[i] = Gh[i];
			}
			ran1 = random.nextInt(65535) % cityNum;
			ran2 = random.nextInt(65535) % cityNum;
			while (ran1 == ran2) {
				ran2 = random.nextInt(65535) % cityNum;
			}

			// 两交换法实施邻域操作
			temp = tempGh[ran1];
			tempGh[ran1] = tempGh[ran2];
			tempGh[ran2] = temp;

			e = evaluate(tempGh);// 评价新值

			if (e < bestEvaluation) {
				bestT = tt;
				bestEvaluation = e;
				for (i = 0; i < cityNum; i++) {
					Gh[i] = tempGh[i];
				}
			}
		}

	}

	public void solve() {
		initGroup();// 初始化编码
		pashan(bestGh, MAX_GEN);

		System.out.println("最佳长度出现代数：");
		System.out.println(bestT);
		System.out.println("最佳长度");
		System.out.println(bestEvaluation);
		System.out.println("最佳路径：");
		for (int i = 0; i < cityNum; i++) {
			System.out.print(bestGh[i] + ",");
			if (i % 10 == 0 && i != 0) {
				System.out.println();
			}
		}
	}

	/**
	 * @param args
	 * @throws IOException
	 */
	public static void main(String[] args) throws IOException {
		System.out.println("Start....");
		HillClimbing hillClimbing = new HillClimbing(48, 5000);
		hillClimbing.init("c://data.txt");
		hillClimbing.solve();
	}
}

运行结果截图：

四、总结

爬山算法由于其简单的结构，在处理多约束大规模问题时比较力不从心，很难得到较好的解，但在小规模的NP问题求解中，解的质量还是比较好的；此外爬山算法结构简单，在某些情况下，整体效率比A星算法的效果还好。