LG1081 开车旅行

题意

城市\(i\)的海拔高度为\(H_i\)（各不相同）。定义距离为海拔差的绝对值

小\(A\)和小\(B\)轮流开车。从\(S\)起，一直向东行驶。

小\(A\)会选择第二近的城市作为目的地。小\(B\)选择一个最近的城市作为目的地。（如果当前城市到两个城市的距离相同，则认为离海拔低的那个城市更近）。如果无法再开了，或者到达目的地会使行驶的总距离超出\(X\)公里，他们就会结束旅行。

单次询问：给定\(X\),问从哪个城市出发，小\(A\)行的路程与小\(B\)行的路程的比值最小

多次询问：给定\(S\)和\(X\),问小\(A\)行的路程与小\(B\)行的路程

\(1 \leq N \leq 10^5,1 \leq M \leq 10^5\)

思路

首先肯定要解决一个问题，小\(A\)和小\(B\)的目的地在哪里。

先排序，然后从第一个城市开始,比较\(i-1,i-2,i+1,i+2\)处距离。

很显然，由于是第一个点，这个时候找到的任何点一定在它东边。

同样的，找完第一个点后将第一个点删除，那么第二个点自然成为了第一个点，依次下去，便在\(O（n）\)的复杂度内完成了预处理。

接下来，就可以想到用倍增来解决。

用\(f[i][j]\)表示从\(j\)出发第\(2^i\)天到达的城市，发现除了\(i=0\)时是\(A\)在开其他都是\(B\)开，所以转移就很简单了\(f[i][j]=f[i-1][f[i-1][j]];\)

那么求出了路径，距离只要减一减就好了。

用\(g[i][j][0]\)表示从\(j\)出发第\(2^i\)天\(A\)开的，用\(g[i][j][1]\)表示从\(j\)出发第\(2^i\)天\(B\)开的，转移：

\(g[i][j][0]=g[i-1][j][0]+g[i-1][f[i-1][j]][0];\)

\(g[i][j][1]=g[i-1][j][1]+g[i-1][f[i-1][j]][1];\)

接下来的询问只要每次倍增凑距离就好了

对于第一个询问枚举出发点再比较

时间复杂度\(O((n+m)logn)\)

#include <bits/stdc++.h>
const int N=100005;
double INF=1000000000;
using std::sort;
int a[N],b[N],Next[N],last[N],c[N],n,m,f[21][N],x,ans=0,s;
long long h[N],suma,sumb,g[21][N][2];
bool cmp(int x,int y){
    return h[x]<h[y];
}
int d(int x,int y){
    return abs(h[x]-h[y]);
}
void solve(int x,int s){
    for (int i=20;i>=0;i--)
        if (g[i][s][0]+g[i][s][1]<=1ll*x){
            x-=g[i][s][0]+g[i][s][1];
            suma+=g[i][s][0];
            sumb+=g[i][s][1];
            if (s==f[i][s]) return;
            s=f[i][s];
        }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&h[i]),c[i]=i;
    h[0]=-200000000000;
    sort(c+1,c+n+1,cmp);
    for (int i=1;i<=n;i++) last[c[i]]=c[i-1],Next[c[i]]=c[i+1];
    for (int i=1;i<=n;i++){
        int x1=last[i],x2=last[x1],x3=Next[i],x4=Next[x3];
        int dis1=abs(h[i]-h[x1]),dis2=abs(h[i]-h[x2]),dis3=abs(h[i]-h[x3]),dis4=abs(h[i]-h[x4]);
        if (dis1<dis3 ||(dis1==dis3 && h[x1]<h[x3])) b[i]=x1; else b[i]=x3;
        if (dis2<dis3 ||(dis2==dis3 && h[x2]<h[x3])) a[i]=x2;
        else if (dis4<dis1 ||(dis4==dis1 && h[x4]<h[x1])) a[i]=x4;
        else if (dis1<dis3 ||(dis1==dis3 && h[x1]<h[x3])) a[i]=x3;
        else a[i]=x1;
        if (a[i]==0) a[i]=i;
        if (b[i]==0) b[i]=i;
        last[Next[i]]=last[i],Next[last[i]]=Next[i];
    }
    for (int i=1;i<=n;i++){
        f[0][i]=a[i];if (a[i]!=i) f[1][i]=b[a[i]];else f[1][i]=i;
        g[0][i][0]=d(i,f[0][i]),g[1][i][0]=g[0][i][0];
        if (a[i]!=i)g[1][i][1]=d(a[i],b[a[i]]);
    }
    for (int i=2;i<=20;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++){
            f[i][j]=f[i-1][f[i-1][j]];
            g[i][j][0]=g[i-1][j][0]+g[i-1][f[i-1][j]][0];
            g[i][j][1]=g[i-1][j][1]+g[i-1][f[i-1][j]][1];
        }
    scanf("%d",&x);
    double now=INF;
    for (int i=1;i<=n-2;i++){
        suma=0,sumb=0;
        solve(x,i);
        if (now==INF && sumb==0 && h[i]>h[ans]) ans=i;
        if (sumb==0) continue;
        if (suma*1.0/sumb<now ||(suma*1.0/sumb==now && h[i]>h[ans])){
            now=suma*1.0/sumb;
            ans=i;
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
    scanf("%d",&m);
    for (int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&s,&x);
        suma=0,sumb=0;
        solve(x,s);
        printf("%lld %lld\n",suma,sumb);
    }
}

后记

要注意\(h[0]\)的初始化，原来没仔细看数据结果爆了\(4\)发